Question

N в кубе + 3n в квадрате + 2n при всех значениях n делится нацело на 6. докажите это

Answer 1

N³ + 3n² + 2n = n(n² + 3n + 2) = n (n - 1)(n - 2)
Из разложения этого квадратного трёхчлена на множители видно, что
n , n - 1  и  n - 2 - это три последовательных числа. Среди трёх последовательных натуральных чисел всегда одно число кратно двум и одно кратно трём, поэтому произведение этих чисел кратно 6 (так как 6=2*3).

Answer 2

Конечно, это задача на математику. Давайте рассмотрим доказательство.

У нас есть условие: \(N\) в кубе (\(N^3\)) плюс \(3N\) в квадрате (\(3N^2\)) плюс \(2N\) делится нацело на 6 при всех значениях \(N\). Мы должны показать, что это верно для всех целых значений \(N\).

Для начала давайте выразим выражение \(N^3 + 3N^2 + 2N\) в другом виде, чтобы увидеть, как оно связано с делением на 6.

\[N^3 + 3N^2 + 2N = N(N^2 + 3N + 2)\]

Теперь факторизуем выражение \(N^2 + 3N + 2\):

\[N^2 + 3N + 2 = (N + 1)(N + 2)\]

Таким образом, мы получаем, что исходное выражение \(N^3 + 3N^2 + 2N = N(N + 1)(N + 2)\).

Мы знаем, что произведение трех последовательных целых чисел всегда делится на 6. Это связано с тем, что среди любых трех последовательных чисел всегда есть одно, которое делится на 3, и одно, которое делится на 2. Поэтому \(N(N + 1)(N + 2)\) всегда будет кратно 6 для любого целого значения \(N\).

Таким образом, мы доказали, что \(N^3 + 3N^2 + 2N\) делится на 6 для всех целых значений \(N\).