Question

Решите неравенство: (4x-1)log₂x≥0

Answer 1

$(4x-1)\log_2x \geq 0 \\ \\ \left\{\begin{matrix} \left \{ {{4x-1 \geq 0} \atop {x\ \ \textless \ \ 0}} \right.\\ \log_2 x\geq 0 \end{matrix}\right.\to \left\{\begin{matrix} \left \{ {{4x \geq 1} \atop {x\ \textless \ 0}} \right. \\ \log_2x \geq \log_21 \end{matrix}\right.\to \left\{\begin{matrix} \left \{ {{x \geq \frac{1}{4} } \atop {x\ \textless \ 0}} \right.\\ x \geq 1 \end{matrix}\right.$

Ответ: $x \in (0; \frac{1}{4} ]\cup [1;+\infty)$

Answer 2

Для решения данного неравенства нужно рассмотреть два случая:

1. Когда (4x-1)log₂x > 0:

Для начала найдем все значения x, при которых выражение (4x-1)log₂x равно нулю. То есть, решим уравнение (4x-1)log₂x = 0.

Поскольку log₂x = 0 только при x = 1, то получаем уравнение 4x-1 = 0, которое имеет решение x = 1/4.

Теперь рассмотрим интервалы на числовой прямой, где (4x-1)log₂x > 0:

1) Для x < 1/4: (4x-1) < 0, log₂x < 0. Умножение двух отрицательных чисел даёт положительный результат, поэтому неравенство выполняется.

2) Для 1/4 < x < 1: (4x-1) > 0, log₂x < 0. Умножение положительного и отрицательного чисел даёт отрицательный результат, поэтому неравенство не выполняется.

3) Для x > 1: (4x-1) > 0, log₂x > 0. Умножение двух положительных чисел даёт положительный результат, поэтому неравенство выполняется.

Таким образом, решением неравенства (4x-1)log₂x > 0 является интервал (-∞, 1/4) ∪ (1, +∞).

2. Когда (4x-1)log₂x = 0:

Мы уже нашли, что x = 1/4 является решением данного уравнения.

Таким образом, решением исходного неравенства (4x-1)log₂x ≥ 0 является интервал (-∞, 1/4] ∪ (1, +∞).