Question

Ребят, еще один дифур, решите, пожалуйста 2y''y'y=1+(y')^3

Answer 1

Уравнение не содержит х, поэтому делаем замену
$y'=p$
$y^{''}=p\frac{dp}{dy}$.
Тогда
$2p\frac{dp}{dy}py=1+p^3$
$\frac{2p^2dp}{1+p^3}=\frac{dy}{y}$
$\frac{d(p^3+1)}{1+p^3}=\frac{dy}{y}$
интегрируя получим
$ln (p^3+1)=cln(y), c \neq 0$
$p^3+1=C_1y, C_1 \neq 0$
$p=\sqrt[3]{C_1y-1}$
$\frac{dy}{dx}=\sqrt[3]{C_1y-1}$
$\frac{dy}{\sqrt[3]{C_1y-1}}=dx$
$(C_1y-1)^{-\frac{1}{3}}dy=x$
$\frac{1}{C_1}*\frac{(C_1y-1)^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}}=x+C_2$
$\frac{3\sqrt[3]{(C_1y-1)^2}}{2C_1}=x+C_2$
и отдельно когда y'=-1 (1+(y')^3=0; y"=0;2y"y'y=0;); y(x)=-x+C

общее решение дифференциального уравнения имеет вид
$\frac{3\sqrt[3]{(C_1y-1)^2}}{2C_1}=x+C_2$
 и $y=-x+C$

Answer 2

Конечно, давайте решим данное дифференциальное уравнение. Уравнение, которое вы предоставили, имеет вид:

\[2y''y'y = 1 + (y')^3\]

где \(y''\) - вторая производная по \(x\) от функции \(y\), а \(y'\) - первая производная по \(x\).

Давайте обозначим \(y'\) как \(p\), чтобы упростить запись. Тогда у нас будет:

\[2y''p = 1 + p^3\]

Теперь давайте найдем первую производную от \(2y''p\) по \(x\) и вторую производную от \(y\) по \(x\), чтобы избавиться от \(y''\):

\[2y'''p + 2y''p' = 3p^2p'\]

Теперь подставим это обратно в исходное уравнение:

\[2(3p^2p') + 2y''p = 1 + p^3\]

Упростим уравнение:

\[6p^2p' + 2y''p = 1 + p^3\]

Теперь, если мы подставим \(y'' = (1 + p^3 - 6p^2p')/2p\), то у нас получится уравнение только относительно \(p\). После этого мы сможем решить это уравнение и найти функцию \(y(x)\).

Обратите внимание, что интегрирование этого уравнения может быть сложным и может потребовать применения различных методов.