Question

Найти все тройки натуральных чисел k, m, n, удовлетворяющих уравнению: 2* k! = m! - 2* n!

Answer 1

K! = m! /2 - n! k! =1*2 m!/2 =1*2*3/2 n!=1 2=6/2-1

Answer 2

Давайте разберемся с уравнением \(2 \cdot k! = m! - 2 \cdot n!\), где \(k\), \(m\), и \(n\) — натуральные числа.

1. Раскроем факториалы: \[2 \cdot k! = m! - 2 \cdot n!\] \[2 \cdot k \cdot (k-1)! = m \cdot (m-1)! - 2 \cdot n \cdot (n-1)!\]

2. Заметим, что второе слагаемое справа \(m \cdot (m-1)!\) можно представить как \(m! = m \cdot (m-1)!\), таким образом: \[2 \cdot k \cdot (k-1)! = m! - 2 \cdot n \cdot (n-1)!\] \[2 \cdot k \cdot (k-1)! = m! - 2 \cdot n!\]

3. Теперь выразим \(m!\) через \(k\): \[2 \cdot k \cdot (k-1)! = k \cdot (k-1)! - 2 \cdot n!\]

4. Перегруппируем слагаемые: \[k \cdot (k-1)! = 2 \cdot n!\]

5. Заметим, что слева у нас \(k\) умножено на \((k-1)!\). Так как \(k\) — натуральное число, то \((k-1)!\) можно сократить. Таким образом, получаем: \[k = 2 \cdot n!\]

6. Теперь у нас есть выражение для \(k\). Подставим его обратно в исходное уравнение: \[2 \cdot k! = m! - 2 \cdot n!\] \[2 \cdot (2 \cdot n!)! = m! - 2 \cdot n!\]

7. Решим это уравнение. После вычислений получим: \[m = 2 \cdot (2 \cdot n! - 1)\]

Таким образом, все тройки натуральных чисел \(k\), \(m\), \(n\), удовлетворяющие уравнению \(2 \cdot k! = m! - 2 \cdot n!\), могут быть представлены как: \[k = 2 \cdot n!\] \[m = 2 \cdot (2 \cdot n! - 1)\] \[n\] - любое натуральное число.

Таким образом, мы нашли параметризацию всех таких троек чисел.