Question

Решите уравнение. (x^2+4x)^2+7x^2+28x+12=0

Answer 1

$(x^2+4x)^2+7(x^2+4x)+12=0\\ x^2+4x=a\\ a^2+7a+12=0\\ D=1^2\\ a=\frac{-7-1}{2}=-4\\ a=\frac{-7+1}{2}=-3\\ \\ x^2+4x+4=0\\ x^2+4x+3=0\\\\ x^2+4x+4=0\\ (x+2)^2=0\\ x=-2\\\\ x^2+4x+3=0\\ D=16-4*1*3=2^2\\ x=\frac{-4+2}{2}=-1\\ x=\frac{-4-2}{2}=-3$

Answer 2

$( x^{2} +4x) ^{2} +7x ^{2} +28x+12=0 \\ ( x^{2} +4x) ^{2} +7( x^{2} +4x)+12=0 \\ x^{2} +4x=y \\ y ^{2} +7y+12=0 \\ D>0 \\ y_{1} =-3 \\ y _{2} =-4 \\ x^{2}+4x+3=0 \\ D>0 \\ x_{1} =-1 \\ x_{2} =-3 \\ x^{2} +4x+4=0 \\ D=0 \\ x_{3,4} =-2$

Answer 3

Давайте решим уравнение \((x^2 + 4x)^2 + 7x^2 + 28x + 12 = 0\). Для удобства введем замену. Обозначим \(y = x^2 + 4x\). Тогда уравнение примет вид:

\[y^2 + 7x^2 + 28x + 12 = 0\]

Теперь решим полученное квадратное уравнение относительно переменной \(y\):

\[y^2 + 7y + 12 = 0\]

Это квадратное уравнение можно решить с использованием метода факторизации или квадратного уравнения. Факторизуем:

\[(y + 3)(y + 4) = 0\]

Таким образом, у нас есть два возможных значения \(y\): \(y + 3 = 0\) или \(y + 4 = 0\).

1. \(y + 3 = 0\): \[x^2 + 4x + 3 = 0\] Факторизуем: \[(x + 1)(x + 3) = 0\]

Таким образом, первый набор решений: \(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\) и \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\).

2. \(y + 4 = 0\): \[x^2 + 4x + 4 = 0\] Факторизуем: \[(x + 2)^2 = 0\]

Таким образом, второй набор решений: \(x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\).

Таким образом, у уравнения \((x^2 + 4x)^2 + 7x^2 + 28x + 12 = 0\) три решения: \(x = -1, -3, -2\).