Question

Докажите, что sin 25(градусов) + sin 35(градусов) - cos 55(градусов) = 0

Answer 1

Sin25+sin35-cos55=sin25+sin35-cos(90-35)=sin25+sin35-sin35=sin25

Answer 2

Равенство не сходится. Либо у Вас в задании ошибка, либо же оно сходиться действительно не должно.
Распишу свой ход мыслей. При решении использовал формулы суммы синусов и разности косинусов разных углов.
Ваш Пример имеет вид:
$sin(25)+sin(35)-cos(55)=0 \\ sin(25)+sin(35)=cos(55)$
Для удобства, перенес косинус 55 градусов в правую часть равенства.
Теперь нам остается доказать, что сумма синусов 25 и 35 градусов равна косинусу 55 градусов.
Существует такая формула суммы синусов:
$sin( \alpha )+sin( \beta )=2*sin(\frac{ \alpha + \beta }{2})*cos(\frac{ \alpha - \beta }{2})$
Теперь запишем сумму наших синусов:
$sin (25)+sin(35)=2*sin(\frac{25+35}{2})*cos(\frac{25-35}{2})=\\ =2*sin(30)*cos(-5)$
Где синус 30 градусов это 1/2, либо 0,5.
Также, по свойству косинуса: Cos(-5 градусов) равен cos(5 градусов).
То есть, мы получаем:
$2*sin(30)*cos(-5)=2*0,5*cos(-5)=cos(-5)=cos(5)$
У нас должно было получиться равенство, но как видите, cos(5 градусов) никак не может быть равен cos(55 градусов).
Для надежности, переносим косинус 55 градусов в левую сторону равенства, и используем формулу для разности косинусов разных углов. Формула имеет вид:
$cos( \alpha )-cos( \beta )=2*sin(\frac{\alpha + \beta}{2})*sin(\frac{ \beta - \alpha }{2})$
Применим для нашего случая:
$cos(5)-cos(55)=2*sin(\frac{5+55}{2})*sin(\frac{55-5}{2})=\\ =2*sin(30)*sin(25)=2*0,5*sin(25)=sin(25)$
В итоге, мы получили синус 25 градусов, который никак не может быть равен нулю.

Answer 3

Давайте рассмотрим выражение sin(25°) + sin(35°) - cos(55°) и попробуем упростить его.

Используем тригонометрические тождества:

1. Сложение углов для синуса: \[\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\]

Теперь применим это тождество:

\[\sin(25°) + \sin(35°) - \cos(55°) = \sin(25°) + \sin(25° + 10°) - \cos(55°)\]

Теперь можем раскрыть синус суммы углов:

\[\sin(25°) + \sin(25°)\cos(10°) + \cos(25°)\sin(10°) - \cos(55°)\]

2. Разложение синуса разности углов: \[\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b\]

Применим это тождество к \(\sin(25°)\cos(10°)\):

\[\sin(25°) + \sin(25°)(\cos(10°) + \sin(25°)\cos(10°) + \cos(25°)\sin(10°) - \cos(55°)\]

Теперь сгруппируем слагаемые, связанные с \(\sin(25°)\):

\[\sin(25°) + \sin(25°)\cos(10°) + \sin(25°)\cos(10°) - \cos(55°) + \cos(25°)\sin(10°)\]

Обратим внимание, что два слагаемых \(\sin(25°)\cos(10°)\) можно объединить:

\[2\sin(25°)\cos(10°) + \sin(25°) - \cos(55°) + \cos(25°)\sin(10°)\]

Теперь мы видим, что первое слагаемое \(2\sin(25°)\cos(10°)\) может быть выражено через синус разности углов:

\[2\sin(25°)\cos(10°) = \sin(35° - 25°) = \sin(10°)\]

Подставим это обратно в исходное уравнение:

\[\sin(10°) + \sin(25°) + \sin(25°) - \cos(55°) + \cos(25°)\sin(10°)\]

Теперь сгруппируем слагаемые, связанные с синусами:

\[\sin(10°) + \sin(25°) + \sin(25°) + \cos(25°)\sin(10°) - \cos(55°)\]

Обратим внимание, что первое и третье слагаемые можно объединить:

\[2\sin(25°) + \cos(25°)\sin(10°) + \sin(10°) - \cos(55°)\]

Теперь мы видим, что первое и третье слагаемые \(2\sin(25°)\) можно объединить:

\[2\sin(25°) + \cos(25°)\sin(10°) + \sin(10°) - \cos(55°) = \sin(10°) + \cos(25°)\sin(10°) - \cos(55°)\]

3. Сложение углов для косинуса: \[\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\]

Применим это тождество к \(\cos(25°)\sin(10°)\):

\[\sin(10°) + \cos(25°)(\sin(10°) - \cos(55°))\]

Теперь раскроем скобки:

\[\sin(10°) + \cos(25°)\sin(10°) - \cos(25°)\cos(55°)\]

Теперь сгруппируем слагаемые, связанные с \(\sin(10°)\):

\[2\sin(10°) + \cos(25°)\sin(10°) - \cos(25°)\cos(55°)\]

Теперь мы видим, что первое слагаемое \(2\sin(10°)\) можно выразить через синус разности углов:

\[2\sin(10°) = 2\sin(25° - 15°) = 2(\sin(25°)\cos(15°) - \cos(25°)\sin(15°))\]

4. Сложение углов для синуса и косинуса: \[\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\] \[\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\]

Применим это тождество к \(2\sin(10°)\):

\[2\sin(10°) = 2(\sin(25°)\cos(15°) - \cos(25°)\sin(15°))\]

\[= 2\sin(25°)\cos(15°) - 2\cos(25°)\sin(15°)\]

Теперь подставим это обратно в уравнение:

\[2\sin(25°)\cos(15°) - 2\cos(25°)\sin(15°) + \cos(25°)\sin(10°) - \cos(25°)\cos(55°)\]

Теперь сгруппируем слагаемые, связанные с \(\cos(25°)\):

\[-2\cos(25°)\sin(15°) - \cos(25°)\cos(55°) + \cos(25°)\sin(10°)\]

Теперь выносим общий множитель \(\cos(25°)\):

\[-\cos(25°)(2\sin(15°) + \cos(55°) - \sin(10°))\]

5. Сложение углов для синуса и косинуса: \[\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a