Question

Докажите, что для любого х справедливо неравенство соs(8-x) cosx < sin(8-x) sin x.

Answer 1

Соs(8-x) cosx < sin(8-x) sin x. соs(8-x) cosx - sin(8-x) sin x. <0 cos(8-x+x)=cos8 < 0 cos8 лежит во второй четверти где косинус отрицательный

Answer 2

Для доказательства неравенства $\cos(8-x)\cos(x) < \sin(8-x)\sin(x)$ для любого $x$, давайте рассмотрим обе стороны неравенства по отдельности.

Левая сторона неравенства:

$\cos(8-x)\cos(x)$

Правая сторона неравенства:

$\sin(8-x)\sin(x)$

Для упрощения выражений, воспользуемся формулами тригонометрии:

$\cos(8-x)\cos(x) = \frac{1}{2}[\cos(8-x+x) + \cos(8-x-x)] = \frac{1}{2}[\cos(8) + \cos(2x)]$

$\sin(8-x)\sin(x) = \frac{1}{2}[\cos(8-x-x) - \cos(8-x+x)] = \frac{1}{2}[\cos(2x) - \cos(8)]$

Теперь сравним обе стороны неравенства:

$\frac{1}{2}[\cos(8) + \cos(2x)] < \frac{1}{2}[\cos(2x) - \cos(8)]$

Упростим выражение:

$\cos(8) + \cos(2x) < \cos(2x) - \cos(8)$

$\cos(8) + \cos(2x) < -\cos(8) + \cos(2x)$

$\cos(8) + \cos(2x) < \cos(8) - \cos(2x)$

$\cos(8) + \cos(2x) < 2\cos(8) - 2\cos(2x)$

$\cos(8) + \cos(2x) < 2[\cos(8) - \cos(2x)]$

Таким образом, мы получили неравенство $\cos(8) + \cos(2x) < 2[\cos(8) - \cos(2x)]$.

Однако, это неравенство не выполняется для всех значений $x$. Например, при $x = 0$, левая сторона равна $2\cos(8)$, а правая сторона равна $0$. Таким образом, неравенство не выполняется для всех $x$.

Таким образом, мы не можем доказать, что неравенство $\cos(8-x)\cos(x) < \sin(8-x)\sin(x)$ выполняется для любого $x$.