Question

ДАЮ 15 БАЛЛОВ!!! (за ответ и решение!!!!!!) Докажите, что: а)Сумма трёх последовательных степеней числа 2 с натуральными показателями делится на 14: б)Сумма двух последовательных степеней числа 5 с натуральными показателями делится на 30. Пожалуйста помогите!!!

Answer 1

2ⁿ+2ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²=2ⁿ(1+2+4)=7*2ⁿ=7*2*2ⁿ⁻¹=14*2ⁿ⁻¹  делится на 14
------------------------------------------------------------------------------------
5ⁿ+5ⁿ⁺1=5ⁿ(1+5)=6*5*5ⁿ⁻¹=30*5ⁿ⁻¹   делится на 30

Answer 2

Давайте рассмотрим оба утверждения.

а) Сумма трёх последовательных степеней числа 2 с натуральными показателями делится на 14:

Обозначим эти степени как \(2^n\), \(2^{n+1}\) и \(2^{n+2}\), где \(n\) - натуральное число.

Тогда сумма этих степеней будет:

\[ S = 2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2} \]

Факторизуем 2 из каждого члена:

\[ S = 2^n (1 + 2 + 4) \]

\[ S = 7 \cdot 2^n \]

Таким образом, сумма этих трех степеней представляет собой произведение 7 на некоторое целое число \(2^n\). Так как 7 - простое число, и сумма делится на 7, то она также делится и на 14.

б) Сумма двух последовательных степеней числа 5 с натуральными показателями делится на 30:

Обозначим эти степени как \(5^n\) и \(5^{n+1}\), где \(n\) - натуральное число.

Тогда сумма этих степеней будет:

\[ S = 5^n + 5^{n+1} \]

Факторизуем 5 из каждого члена:

\[ S = 5^n (1 + 5) \]

\[ S = 6 \cdot 5^n \]

Таким образом, сумма этих двух степеней представляет собой произведение 6 на некоторое целое число \(5^n\). Так как 6 и 5 взаимно просты, то сумма также делится на 30.

Таким образом, оба утверждения доказаны.