Question

Провести исследование функции и построить ее график. Срочнааааа y=3x^2-x^3

Answer 1

Y=3x^2-x^3
y=3x^2-x^3,x€ R

Answer 2

Функция y = 3x^2 - x^3 является кубической функцией. Чтобы провести исследование этой функции, мы можем проанализировать ее основные характеристики, такие как область определения, область значений, интервалы возрастания и убывания, экстремумы, точки перегиба и построить ее график.

1. Область определения: Функция определена для любого действительного значения x.

2. Область значений: Чтобы найти область значений функции, мы можем проанализировать ее поведение на бесконечности и находить экстремумы. Поскольку старший коэффициент отрицательный, функция имеет максимум, а значит, ее область значений ограничена сверху. Она может принимать любое значение от минус бесконечности до значения функции в ее максимуме.

3. Интервалы возрастания и убывания: Для определения интервалов возрастания и убывания функции, мы можем проанализировать ее производную. Возьмем производную от функции: y' = 6x - 3x^2

Затем приравняем производную к нулю и найдем ее корни: 6x - 3x^2 = 0 3x(2 - x) = 0

Из этого уравнения следует, что x = 0 или x = 2. Таким образом, функция возрастает на интервале (-∞, 0) и (2, +∞), и убывает на интервале (0, 2).

4. Экстремумы: Чтобы найти экстремумы функции, мы можем проанализировать ее вторую производную. Возьмем вторую производную от функции: y'' = 6 - 6x

Затем приравняем вторую производную к нулю и найдем ее корень: 6 - 6x = 0 6x = 6 x = 1

Из этого уравнения следует, что функция имеет точку экстремума при x = 1. Подстановка этого значения в исходную функцию дает значение y = 3 - 1 = 2. Таким образом, функция имеет максимум при x = 1, y = 2.

5. Точки перегиба: Чтобы найти точки перегиба функции, мы можем проанализировать ее вторую производную. Вторая производная y'' = 6 - 6x является линейной функцией. Точка перегиба будет, когда вторая производная равна нулю или несуществует. Здесь у нас нет таких точек, поскольку вторая производная никогда не равна нулю и существует для любого значения x.

6. Построение графика: Чтобы построить график функции y = 3x^2 - x^3, мы можем использовать полученную информацию. Мы знаем, что функция имеет максимум при x = 1, y = 2, и она возрастает на интервалах (-∞, 0) и (2, +∞), и убывает на интервале (0, 2). Мы также знаем, что функция является кубической функцией, поэтому ее график будет иметь форму параболы, открытой вниз.

На графике можно отобразить основные характеристики функции, такие как точку экстремума и интервалы возрастания и убывания.