Question

Первая труба наполняет резервуар на 48 минут дольше,чем вторая.Обе трубы ,работая одновременно наполняют этот же резервуар на 45 минут.За сколько минут наполнят этот резервуар одна вторая труба???

Answer 1

Пусть объем резервуара будет один, количество минут, за которое его наполнит вторая труба равно х минут, тогда первая труба справится с этим за (х + 48) минут. Производительность второй трубы составит 1/х, а первой - 1/(х + 48). Вместе этот объем они наполнят его за 45 минут.
Составляем уравнение:
$( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+48})*45 = 1$
$\frac{45}{x} + \frac{45}{x+48} - 1 = 0$
Приводим к общему знаменателю:
$\frac{45x + 45(x+48) - x(x+48)}{x(x+48)} = 0$
Раскрываем скобки и отбрасываем знаменатель:
$45x + 45x + 2160 - x^{2} - 48x = 0$
Получаем квадратное уравнение:
$- x^{2} + 42x + 2160 = 0$
$x^{2} - 42x - 2160 = 0$
$D = 42*42 +4*1*2160 = 1764 + 8640 = 10404$
$\sqrt{D} = \sqrt{10404} =+- 102$
$x_{1} = \frac{42 + 102}{2} = 72$ минут
$</span>x_{2} = \frac{42 - 102}{2} = -30$ - не подходит
Вторая труба наполнит резервуар за 77 минут, а первая за 72+48=120 минут.

Answer 2

Пусть \( t_1 \) - время, за которое первая труба наполняет резервуар, и \( t_2 \) - время, за которое вторая труба наполняет тот же резервуар.

Из условия задачи мы имеем два уравнения:

1. \( t_1 = t_2 + 48 \) - первая труба наполняет резервуар на 48 минут дольше, чем вторая. 2. Если обе трубы работают одновременно, то они наполняют резервуар за 45 минут: \( \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{45} \).

Теперь у нас есть система уравнений, которую мы можем решить. Заменим \( t_1 \) во втором уравнении согласно первому уравнению:

\[ \frac{1}{t_2 + 48} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{45} \]

Умножим обе стороны на 45\(t_2(t_2 + 48)\), чтобы избавиться от знаменателей:

\[ 45t_2(t_2 + 48) + 45(t_2 + 48)t_2 = t_2(t_2 + 48) \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ 45t_2^2 + 45 \cdot 48t_2 + 45t_2 + 45 \cdot 48 \cdot 45 = t_2^2 + 48t_2 \]

Переносим все термины на одну сторону:

\[ 44t_2^2 - 1962t_2 - 45 \cdot 48 \cdot 45 = 0 \]

Теперь можно воспользоваться формулой дискриминанта для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\[ t_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В данном случае, \( a = 44, b = -1962, c = -45 \cdot 48 \cdot 45 \). Подставим значения:

\[ t_2 = \frac{1962 \pm \sqrt{1962^2 - 4 \cdot 44 \cdot (-45 \cdot 48 \cdot 45)}}{2 \cdot 44} \]

Решив это уравнение, найдем два значения \( t_2 \) (одно из которых будет отрицательным, ибо в контексте задачи оно не имеет смысла), и выберем положительное значение.

\[ t_2 = \frac{1962 + \sqrt{1962^2 - 4 \cdot 44 \cdot (-45 \cdot 48 \cdot 45)}}{2 \cdot 44} \]

После вычислений мы получим конкретное значение \( t_2 \), которое представляет собой время, за которое вторая труба наполняет резервуар.