Question

Если один из катетов прямоугольного треугольника равен 2корню из 5 см и периметр - 10 + 2 корню из 5 см, то найдите второй катет и гипотенузу данного треугольника

Answer 1

Пусть второй катет равен x.
Тогда гипотенуза равна √(x²+(2√5)²)=√(x²+20)
Тогда периметр равен
P=2√5+x+√(x²+20)=10+2√5
x+√(x²+20)=10
√(X²+20)=10-x
x²+20=(10-x)²
x²+20=100+x²-20x
20x=80
x=4
Катет равен 4, гипотенуза равна √(16+20)=√36=6

Answer 2

Пусть один из катетов прямоугольного треугольника равен \(2\sqrt{5}\) см, а периметр треугольника равен \(10 + 2\sqrt{5}\) см.

Периметр треугольника выражается как сумма всех его сторон:

\[ \text{Периметр} = \text{Катет}_1 + \text{Катет}_2 + \text{Гипотенуза} \]

Мы знаем, что один катет равен \(2\sqrt{5}\) см. Пусть второй катет равен \(x\) см, а гипотенуза равна \(c\) см.

Таким образом, у нас есть следующие уравнения:

1. Один катет: \(\text{Катет}_1 = 2\sqrt{5}\) см 2. Второй катет: \(\text{Катет}_2 = x\) см 3. Гипотенуза: \(\text{Гипотенуза} = c\) см 4. Периметр: \(10 + 2\sqrt{5} = 2\sqrt{5} + x + c\)

Теперь мы можем выразить второй катет и гипотенузу через уравнение периметра:

\[ x + c = 10 + 2\sqrt{5} - 2\sqrt{5} \] \[ x + c = 10 \]

Также у нас есть формула для прямоугольного треугольника: \(c^2 = a^2 + b^2\), где \(a\) и \(b\) - катеты, \(c\) - гипотенуза.

Подставим известные значения:

\[ c^2 = (2\sqrt{5})^2 + x^2 \] \[ c^2 = 20 + x^2 \]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \(x + c = 10\) 2. \(c^2 = 20 + x^2\)

Давайте решим эту систему.

Из первого уравнения выразим \(c\):

\[ c = 10 - x \]

Подставим это значение во второе уравнение:

\[ (10 - x)^2 = 20 + x^2 \] \[ 100 - 20x + x^2 = 20 + x^2 \] \[ 100 - 20x = 20 \] \[ -20x = -80 \] \[ x = 4 \]

Таким образом, второй катет равен \(4\) см.

Теперь найдем гипотенузу, используя найденное значение \(x\):

\[ c = 10 - x = 10 - 4 = 6 \]

Итак, второй катет равен \(4\) см, а гипотенуза равна \(6\) см.