Question

Найти область определения F(x)=log0,5(2x-x^2) F(x)=log0,5((x-1)(x+2))

Answer 1

F(x)=log0,5(2x-x^2)
2x-x²>0
x²-2x<0
x(x-2)<0
x=0  x=2
           +              _              +
--------------(0)------------(2)-------------
x∈(0;2)

F(x)=log0,5((x-1)(x+2))
(x-1)(x+2)>0
x=1  x=-2
  +             _                 +
-------(-2)----------(1)--------------
x∈(-∞;-2) U (1;∞)

Answer 2

Для нахождения области определения функции F(x) = log0,5(2x - x^2), мы должны исследовать значения x, при которых функция определена.

Определение логарифма

Перед тем, как мы начнем, давайте вспомним определение логарифма. Логарифм с основанием a от числа x, обозначаемый как log_a(x), это степень, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить число x. Формально, это может быть записано как a^log_a(x) = x.

Определение области определения

В случае функции логарифма, область определения состоит из значений, для которых аргумент (в данном случае x) больше нуля. Это связано с тем, что логарифм отрицательного числа или нуля не определен в обычной алгебре.

Нахождение области определения F(x) = log0,5(2x - x^2)

Для нахождения области определения функции F(x) = log0,5(2x - x^2), мы должны решить неравенство 2x - x^2 > 0.

Давайте решим это неравенство:

2x - x^2 > 0

Выражение можно факторизовать:

x(2 - x) > 0

Теперь мы можем найти значения x, которые удовлетворяют этому неравенству, используя метод интервалов знаков:

1. Найдем точки, где выражение равно нулю. Здесь это x = 0 и x = 2. 2. Выберем тестовую точку в каждом из трех интервалов: (-∞, 0), (0, 2), (2, +∞). - Для интервала (-∞, 0) возьмем x = -1. - Для интервала (0, 2) возьмем x = 1. - Для интервала (2, +∞) возьмем x = 3. 3. Подставим выбранные значения x в выражение x(2 - x) и определим знак в каждом интервале. - Для x = -1: (-1)(2 - (-1)) = 3 > 0, положительный знак. - Для x = 1: (1)(2 - 1) = 1 > 0, положительный знак. - Для x = 3: (3)(2 - 3) = -3 < 0, отрицательный знак. 4. Составляем таблицу знаков: | | (-∞, 0) | (0, 2) | (2, +∞) | |-------|---------|--------|---------| | x | -1 | 1 | 3 | | x(2-x)| + | + | - |

5. Из таблицы знаков видно, что выражение x(2 - x) положительно в интервалах (-∞, 0) и (0, 2), а отрицательно в интервале (2, +∞). 6. Область определения функции F(x) = log0,5(2x - x^2) - это значения x, для которых x(2 - x) > 0, то есть интервалы (-∞, 0) и (0, 2).

Нахождение области определения F(x) = log0,5((x - 1)(x + 2))

Для нахождения области определения функции F(x) = log0,5((x - 1)(x + 2)), мы должны решить неравенство (x - 1)(x + 2) > 0.

Давайте решим это неравенство:

(x - 1)(x + 2) > 0

Теперь мы можем найти значения x, которые удовлетворяют этому неравенству, используя метод интервалов знаков:

1. Найдем точки, где выражение равно нулю. Здесь это x = -2 и x = 1. 2. Выберем тестовую точку в каждом из трех интервалов: (-∞, -2), (-2, 1), (1, +∞). - Для интервала (-∞, -2) возьмем x = -3. - Для интервала (-2, 1) возьмем x = 0. - Для интервала (1, +∞) возьмем x = 2. 3. Подставим выбранные значения x в выражение (x - 1)(x + 2) и определим знак в каждом интервале. - Для x = -3: (-3 - 1)(-3 + 2) = 8 > 0, положительный знак. - Для x = 0: (0 - 1)(0 + 2) = -2 < 0, отрицательный знак. - Для x = 2: (2 - 1)(2 + 2) = 4 > 0, положительный знак. 4. Составляем таблицу знаков: | | (-∞, -2) | (-2, 1) | (1, +∞) | |-------|----------|---------|---------| | x | -3 | 0 | 2 | | (x - 1)(x + 2)| + | - | + |

5. Из таблицы знаков видно, что выражение (x - 1)(x + 2) положительно в интервалах (-∞, -2) и (1, +∞), а отрицательно в интервале (-2, 1). 6. Область определения функции F(x) = log0,5((x - 1)(x + 2)) - это значения x, для которых (x - 1)(x + 2) > 0, то есть интервалы (-∞, -2) и (1, +∞).

Область определения итоговой функции

Объединяя результаты для обоих функций, область определения итоговой функции F(x) = log0,5(2x - x^2) + F(x) = log0,5((x - 1)(x + 2)) будет интервал (-∞, 0) ∪ (0, 2) ∪ (-∞, -2) ∪ (1, +∞).