Question

помогите доказать тождество cos 2x - cos 3x - cos 4x + cos 5x = -4 sin cos sin x

Answer 1

cos5x+cos2x=2cos7/2xcos3/2x

cos3x+cos4x=2cos7/2xcosx/2

2cos7/2x(cos3/2x-cosx/2)=-4cos7/2xsinxsinx/2

Answer 2

Здесь для начала сгруппируем первое с четвёртым, второе с третьим слагаемые:

 

(cos 2x + cos 5x) - (cos 3x + cos 4x)

В скобках получились суммы, преобразуем их в произведения:

 2cos 7x/2 cos 3x/2 - 2cos 7x/2 cos x/2

Теперь вынесем за скобки 2 cos 7x/2:

 

2cos 7x/2 (cos 3x/2 -  cos x/2)

Вновь преобразуем сумму в скобках в произведение:

 

2cos 7x/2 * -2sin 2x sin x = -4cos 7x/2 sin x sin x/2

 

 

Answer 3

Давайте докажем данное тождество, используя тригонометрические тождества. Данное тождество выглядит следующим образом:

\[ \cos(2x) - \cos(3x) - \cos(4x) + \cos(5x) = -4 \sin(x) \cos(\sin(x)) \]

Мы будем использовать формулы для разности и суммы косинусов:

1. \(\cos(A) - \cos(B) = -2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)\) 2. \(\cos(A) + \cos(B) = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)\)

Применим эти формулы для каждой пары косинусов в исходном выражении:

\[ \cos(2x) - \cos(3x) - \cos(4x) + \cos(5x) \] \[= -2 \sin(x) \sin(3x) - 2 \cos\left(\frac{7x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right) \] \[= -2 \sin(x) \left(3\sin(x) - 4\sin^3(x)\right) - 2 \cos\left(\frac{7x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right)\]

Теперь преобразуем выражение, используя тригонометрические тождества, чтобы доказать, что оно равно \(-4 \sin(x) \cos(\sin(x))\):

\[ -2 \sin(x) \left(3\sin(x) - 4\sin^3(x)\right) - 2 \cos\left(\frac{7x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right) \] \[= -6\sin^2(x) + 8\sin^4(x) - 2 \cos\left(\frac{7x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right)\]

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством \(\cos(A)\cos(B) = \frac{1}{2}\left(\cos(A+B) + \cos(A-B)\right)\):

\[ -6\sin^2(x) + 8\sin^4(x) - 2 \cos\left(\frac{7x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right) \] \[= -6\sin^2(x) + 8\sin^4(x) - \cos\left(\frac{9x}{2}\right) - \cos\left(\frac{5x}{2}\right)\]

Теперь, воспользовавшись формулой \(\sin^2(A) = \frac{1 - \cos(2A)}{2}\), заменим \(\sin^2(x)\) в выражении:

\[ -6\sin^2(x) + 8\sin^4(x) - \cos\left(\frac{9x}{2}\right) - \cos\left(\frac{5x}{2}\right) \] \[= -3 + 4(1 - \cos(2x)) - \cos\left(\frac{9x}{2}\right) - \cos\left(\frac{5x}{2}\right)\]

Теперь раскроем скобки и упростим:

\[ -3 + 4(1 - \cos(2x)) - \cos\left(\frac{9x}{2}\right) - \cos\left(\frac{5x}{2}\right) \] \[= -3 + 4 - 4\cos(2x) - \cos\left(\frac{9x}{2}\right) - \cos\left(\frac{5x}{2}\right)\]

Теперь объединим члены и преобразуем выражение:

\[ -3 + 4 - 4\cos(2x) - \cos\left(\frac{9x}{2}\right) - \cos\left(\frac{5x}{2}\right) \] \[= 1 - 4\cos(2x) - \cos\left(\frac{9x}{2}\right) - \cos\left(\frac{5x}{2}\right)\]

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством \(\cos(2A) = 2\cos^2(A) - 1\):

\[ 1 - 4\cos(2x) - \cos\left(\frac{9x}{2}\right) - \cos\left(\frac{5x}{2}\right) \] \[= 1 - 4(2\cos^2(x) - 1) - \cos\left(\frac{9x}{2}\right) - \cos\left(\frac{5x}{2}\right)\]

Теперь раскроем скобки и упростим:

\[ 1 - 4(2\cos^2(x) - 1) - \cos\left(\frac{9x}{2}\right) - \cos\left(\frac{5x}{2}\right) \] \[= 1 - 8\cos^2(x) + 4 - \cos\left(\frac{9x}{2}\right) - \cos\left(\frac{5x}{2}\right)\]

Теперь объединим члены и упростим:

\[ 1 - 8\cos^2(x) + 4 - \cos\left(\frac{9x}{2}\right) - \cos\left(\frac{5x}{2}\right) \] \[= 5 - 8\cos^2(x) - \cos\left(\frac{9x}{2}\right) - \cos\left(\frac{5x}{2}\right)\]

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством \(\cos^2(A) = \frac{1 + \cos(2A)}{2}\):

\[ 5 - 8\cos^2(x) - \cos\left(\frac{9x}{2}\right) - \cos\left(\frac{5x}{2}\right)