Question

Решить неравенства: log₀,₂x≥-2 ; log₁/₂₇ x<1/3 ; log₅(2x-7)<3; log₀,₃(6-x)>-1 ; log₀,₇(3x-5)

Answer 1

1) x ≤ 0, 04
    x > 0
Ответ: (0; 0, 04]
2) x > (1/27)^1/3
     х > 0
Ответ: х > 1/3
3) 2х - 7 < 125             2x < 132             x < 66
    2х - 7 > 0                2x > 7                x > 3,5
Ответ: (3,5 ; 66)
4) 6 - х < 10/3            -x < 10/3 - 6             x> 8/3
    6 - x > 0                 -x > -6                    x < 6
 Ответ: (8/3; 6)
5) ? 

Answer 2

Давайте решим каждое из данных неравенств поочередно:

1. \( \log_{0.5} x \geq -2 \)

Используем определение логарифма. Помним, что \( \log_{b} a = c \) означает \( b^c = a \). В данном случае:

\[ 0.5^{-2} \leq x \]

\[ \frac{1}{0.5^2} \leq x \]

\[ 4 \leq x \]

Таким образом, первое неравенство имеет решение \( x \geq 4 \).

2. \( \log_{1/2^3} x < \frac{1}{3} \)

Упростим основание логарифма:

\[ \log_{\frac{1}{8}} x < \frac{1}{3} \]

Теперь перейдем к экспоненциальной форме:

\[ \left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{1}{3}} > x \]

\[ \sqrt[3]{\frac{1}{8}} > x \]

\[ \frac{1}{2} > x \]

Таким образом, второе неравенство имеет решение \( x < \frac{1}{2} \).

3. \( \log_{5} (2x-7) < 3 \)

Преобразуем:

\[ 5^3 > 2x-7 \]

\[ 125 > 2x-7 \]

\[ 132 > 2x \]

\[ 66 > x \]

Таким образом, третье неравенство имеет решение \( x < 66 \).

4. \( \log_{0.3} (6-x) > -1 \)

Преобразуем:

\[ 0.3^{-1} < 6-x \]

\[ \frac{1}{0.3} < 6-x \]

\[ \frac{10}{3} < 6-x \]

\[ x < 6 - \frac{10}{3} \]

\[ x < \frac{8}{3} \]

Таким образом, четвертое неравенство имеет решение \( x < \frac{8}{3} \).

5. \( \log_{0.7} (3x-5) > -1 \)

Преобразуем:

\[ 0.7^{-1} < 3x-5 \]

\[ \frac{1}{0.7} < 3x-5 \]

\[ \frac{10}{7} < 3x-5 \]

\[ \frac{38}{7} < 3x \]

\[ \frac{38}{21} < x \]

Таким образом, пятое неравенство имеет решение \( x > \frac{38}{21} \).

Итак, с учетом всех ограничений, решением системы неравенств будет:

\[ \frac{38}{21} < x < \frac{8}{3} \cap \frac{1}{2} > x \cap x < 66 \cap x \geq 4 \]

Таким образом, объединение всех решений дает:

\[ \frac{38}{21} < x < \frac{8}{3} \cap x < \frac{1}{2} \cap x < 66 \cap x \geq 4 \]

Это и есть решение данной системы неравенств.