Question

При каких значениях k произведение корней квадратного уравнения равно нулю: x^2+3x+(k^2-7k+12)=0

Answer 1

x²+3x+(k²-7k+12)=0
к²-7к+12=0 (по т. Виета х₁*х₂=с)
D=49-48=1
к₁=(7+1)/2=4
к₂=(7-1)2=3

Answer 2

Для определения при каких значениях параметра \( k \) произведение корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) равно нулю, мы можем воспользоваться формулой для корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В данном случае у нас есть уравнение \( x^2 + 3x + (k^2-7k+12) = 0 \), где: - \( a = 1 \) (коэффициент при \( x^2 \)), - \( b = 3 \) (коэффициент при \( x \)), - \( c = k^2-7k+12 \).

Теперь используем формулу дискриминанта (\( D \)):

\[ D = b^2 - 4ac \]

Если \( D = 0 \), то у уравнения есть один корень. Если \( D > 0 \), то у уравнения два различных корня. Если \( D < 0 \), то у уравнения нет действительных корней.

В нашем случае:

\[ D = 3^2 - 4(1)(k^2-7k+12) \]

\[ D = 9 - 4(k^2-7k+12) \]

\[ D = 9 - 4k^2 + 28k - 48 \]

\[ D = -4k^2 + 28k - 39 \]

Теперь мы хотим, чтобы произведение корней было равно нулю. Если у уравнения есть два корня \( x_1 \) и \( x_2 \), то произведение корней \( x_1 \cdot x_2 \) равно \( \frac{c}{a} \).

В нашем случае:

\[ x_1 \cdot x_2 = \frac{k^2-7k+12}{1} \]

Таким образом, нам нужно решить уравнение:

\[ -4k^2 + 28k - 39 = 0 \]

После решения этого уравнения, мы найдем значения \( k \), при которых произведение корней исходного квадратного уравнения равно нулю.