Question

Доказать, что неравенство равносильно системе

Answer 1

Неравенство |u|<v имеет смысл только тогда, когда v>0
1. u≥0
Тогда |u|=u
0≤u<v
2. u<0
Тогда |u|=-u
-u<v
u>-v
-v<u<0
Объединяя 0≤u<v и -v<u<0 получим искомую систему неравенств

Answer 2

Для того, чтобы доказать, что неравенство равносильно системе , нужно показать, что любое решение неравенства является решением системы и наоборот. Для этого можно воспользоваться следующими шагами:

1. Преобразовать неравенство к виду , где . 2. Рассмотреть два случая: а) ; б) . 3. В случае а) неравенство равносильно неравенству , которое, в свою очередь, равносильно системе . 4. В случае б) неравенство равносильно неравенству , которое, в свою очередь, равносильно системе . 5. Объединить полученные системы в одну совокупность: . 6. Показать, что любое решение совокупности систем является решением неравенства и наоборот.

Более подробно этот метод рационализации при решении неравенств можно изучить по ссылке [1](https://kpfu.ru/staff_files/F1977879220/Metod_racionalizacii.pdf). Там же приведены примеры применения этого метода к другим видам неравенств.