Question

3^200=x(mod7) Нужно найти x

Answer 1

Т.к. 7 - простое число, то по малой теореме Ферма 3^6≡1(mod 7). Поэтому
3^200=3^(6*33+2)=((3^6)^33)*(3^2)≡3^2=9≡2(mod 7).

Answer 2

Чтобы найти значение выражения 3^200 (mod 7), мы должны разложить 3^200 на простые модули по модулю 7 и затем найти остаток.

Разложение степени 3^200:

Мы можем заметить, что остатки при делении 3^200 на 7 образуют периодическую последовательность. Давайте рассмотрим первые несколько значений:

3^1 (mod 7) = 3 3^2 (mod 7) = 2 3^3 (mod 7) = 6 3^4 (mod 7) = 4 3^5 (mod 7) = 5 3^6 (mod 7) = 1 3^7 (mod 7) = 3 ...

Мы видим, что последовательность остатков повторяется с периодом 6: 3, 2, 6, 4, 5, 1. То есть, 3^7 (mod 7) снова равно 3, и так далее.

Вычисление 3^200 (mod 7):

200 = 33 * 6 + 2. Здесь 33 - это количество полных периодов, а 2 - это остаток от деления на 6.

Таким образом, мы можем записать 3^200 (mod 7) как (3^6)^33 * 3^2 (mod 7).

(3^6)^33 (mod 7) равно 1^33 (mod 7), что также равно 1.

3^2 (mod 7) равно 9 (mod 7), что равно 2.

Итак, 3^200 (mod 7) равно 1 * 2 (mod 7), что равно 2.

Ответ:

Таким образом, значение выражения 3^200 (mod 7) равно 2.