Question

Сумма первого и третьего члена геометрической прогрессии равна 10, а сумма второго и четвертого ее членов рана 20. Чему равна сумма первых шести членов прогрессии?

Answer 1

Решение смотри на фотографии

Answer 2

Пусть первый член геометрической прогрессии равен а, а знаменатель прогрессии равен q.

Тогда: первый член прогрессии: а второй член прогрессии: а * q третий член прогрессии: а * q^2 четвертый член прогрессии: а * q^3

Из условия задачи имеем: а + а * q^2 = 10 (1) - сумма первого и третьего членов а * q + а * q^3 = 20 (2) - сумма второго и четвертого членов

Разделим уравнение (2) на уравнение (1):

(а * q + а * q^3) / (а + а * q^2) = 20 / 10 (q + q^3) / (1 + q^2) = 2 q + q^3 = 2 + 2q^2 q^3 - 2q^2 + q - 2 = 0

Решив это уравнение, найдем, что q = -1 или q = 2.

Если q = -1, то а + а * (-1)^2 = 10 а + а = 10 2а = 10 а = 5

Если q = 2, то а + а * 2^2 = 10 а + 4а = 10 5а = 10 а = 2

Таким образом, имеем два возможных набора чисел: (5, -1) и (2, 2).

Сумма первых шести членов прогрессии равна: для набора (5, -1): 5 + 5 * (-1) + 5 * (-1)^2 + 5 * (-1)^3 + 5 * (-1)^4 + 5 * (-1)^5 = 5 - 5 + 5 - 5 + 5 - 5 = 0

для набора (2, 2): 2 + 2 * 2 + 2 * 2^2 + 2 * 2^3 + 2 * 2^4 + 2 * 2^5 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126

Таким образом, сумма первых шести членов прогрессии может быть равна либо 0, либо 126.