Question

Найдите все значения a при каждом из которых любое действительное число x является решение неравенства x^2+(3a-1)x+a>0

Answer 1

Тоже мучусь с этим уравнением(

Answer 2

Чтобы найти все значения параметра \( a \), при которых любое действительное число \( x \) является решением неравенства \( x^2 + (3a-1)x + a > 0 \), мы можем использовать метод интервалов знаков.

Неравенство в квадрате представляет собой квадратное уравнение вида \( ax^2 + bx + c > 0 \). Сначала найдем корни уравнения, то есть значения \( x \), при которых выражение в левой части равно нулю. Эти точки разбивают весь вещественный интервал на несколько подинтервалов. Затем мы можем определить знак выражения в каждом из этих подинтервалов.

Для неравенства \( x^2 + (3a-1)x + a > 0 \), уравнение равенства будет \( x^2 + (3a-1)x + a = 0 \). Решим это уравнение для \( x \):

\[ x^2 + (3a-1)x + a = 0 \]

Дискриминант этого уравнения равен \( b^2 - 4ac \). Для того чтобы уравнение имело действительные корни, дискриминант должен быть положительным: \( (3a-1)^2 - 4a > 0 \). Решим это неравенство:

\[ 9a^2 - 6a + 1 - 4a > 0 \]

\[ 9a^2 - 10a + 1 > 0 \]

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения. Мы можем использовать формулу для дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \]

\[ D = (-10)^2 - 4(9)(1) = 100 - 36 = 64 \]

Дискриминант положителен, что означает, что у нас есть два действительных корня. Эти корни можно найти с использованием формулы:

\[ a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ a_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{18} \]

\[ a_1 = \frac{10 + 8}{18} = \frac{9}{4} \]

\[ a_2 = \frac{10 - 8}{18} = \frac{1}{9} \]

Таким образом, у нас есть два значения параметра \( a \): \( \frac{9}{4} \) и \( \frac{1}{9} \).

Теперь давайте рассмотрим знак выражения в каждом из трех интервалов, образованных корнями уравнения \( x^2 + (3a-1)x + a = 0 \) (это корни \( a_1 = \frac{9}{4} \) и \( a_2 = \frac{1}{9} \)):

1. \( (-\infty, a_2) \): Выберем точку \( x = 0 \) (самое левое значение интервала). Подставим в уравнение: \( a > 0 \) (положительное).

2. \( (a_2, a_1) \): Выберем точку \( x = 0 \) (лежащую между корнями). Подставим в уравнение: \( a < 0 \) (отрицательное).

3. \( (a_1, +\infty) \): Выберем точку \( x = 0 \) (самое правое значение интервала). Подставим в уравнение: \( a > 0 \) (положительное).

Таким образом, при \( a < \frac{1}{9} \) или \( a > \frac{9}{4} \) неравенство \( x^2 + (3a-1)x + a > 0 \) выполняется для всех действительных \( x \).