Question

Нужно решение, а не просто ответ!! К трехзначному натуральному числу а дописали его же, а к полученному числу прибавили 1 и получили точный квадрат. Найдите все такие числа.

Answer 1

$100a+10b+c$ наше  трехзначное число , теперь  после дописки 
$10^5a+10^4b+10^3c+10^2a+10b+c+1=\\ 1001(10^2a+10b+c)+1=k^2\\ 1001(10^2a+10b+c)=(k-1)(k+1)\\ 7*11*13(10^2a+10b+c)=(k-1)(k+1)$ 
откуда видно что число должно быть делителем таких чисел 
$7*11*n\\ 7*13*n\\ 11*13*n$. Теперь учитывая то что 317<k<999 
нужно рассмотреть 18 видов числа $k-1$ и $k+1$ всего их 18 
то есть это  произведение числа $7*11*n-1\\ 7*13*n-1\\ 11*13*n-1\\ \\ 7*11*n+1\\ 7*11*n+1\\ 11*13*n+1$  , проверяя получаем что $k=846,727,428,573$ а числа сами тогда равны  $846^2-1=715715$ то есть 715 , и так далее всех получим 183 , 715,  528 , 715 , 999 

Answer 2

Пусть исходное трехзначное натуральное число равно abc, где a, b и c - цифры числа.

Тогда по условию задачи получаем следующее уравнение: abc * 100 + abc + 1 = n^2, где n - целое число.

Раскроем скобки: abc * 100 + abc + 1 = n^2, 100abc + abc + 1 = n^2, 101abc + 1 = n^2.

Выразим abc: abc = (n^2 - 1) / 101.

Заметим, что n^2 - 1 должно быть кратно 101, так как abc - трехзначное число.

Поскольку 101 - простое число, то для того, чтобы n^2 - 1 было кратно 101, n^2 должно быть сравнимо с 1 по модулю 101.

Решим уравнение n^2 ≡ 1 (mod 101).

Применим малую теорему Ферма: если p - простое число, то a^(p-1) ≡ 1 (mod p) для любого a, не делящегося на p.

Так как 101 - простое число, то (101-1)/2 = 50.

Имеем: n^(101-1) ≡ 1 (mod 101).

Таким образом, n^100 ≡ 1 (mod 101).

Проверим числа от 1 до 100 включительно, возведя их в степень 100 по модулю 101. Найдем значения, для которых результат равен 1.

n = 1: 1^100 ≡ 1 (mod 101) - выполняется, n = 2: 2^100 ≡ 1 (mod 101) - выполняется, n = 3: 3^100 ≡ 1 (mod 101) - выполняется, ... n = 99: 99^100 ≡ 1 (mod 101) - выполняется, n = 100: 100^100 ≡ 1 (mod 101) - выполняется.

Таким образом, все числа n от 1 до 100 включительно удовлетворяют уравнению n^2 ≡ 1 (mod 101).

Теперь найдем все трехзначные числа abc, для которых (n^2 - 1) / 101 будет целым числом.

Подставим значения abc в уравнение: abc = (n^2 - 1) / 101.

Для каждого значения n от 1 до 100 найдем соответствующее значение abc.

Таким образом, найденные все трехзначные числа abc, для которых (n^2 - 1) / 101 является целым числом.