Question

Помогите пожалуйста:Доказать что число 2n^3 - 3n^2 + n делится на 6 при любом n (принадлежит N) (n>1)

Answer 1

Докажем методом мат индукции, так как наше  выражение делиться на 6.
докажем при  $n->n+1$
$2(n+1)^3-3(n+1)^2+n+1=2n^3+3n^2+n\\ \\ tak\ kak\ \ \ 2n^3-3n^2+n$ делиться на 6 
преобразуем 
$2n^3+3n^2+n=2n^3-3n^2+n+6n^2\\ zamena\ 2n^3-3n^2+n=Q\\ Q+6n^2$
то есть нашу выражение тоже делиться на 6 так как Q самое делиться на 6   а , в другом сомножители  есть цифра 6

Answer 2

Чтобы доказать, что число 2n^3 - 3n^2 + n делится на 6 при любом n, где n принадлежит множеству натуральных чисел и n > 1, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Математическая индукция — это метод доказательства, который состоит из двух шагов: базового шага и шага индукции.

Базовый шаг:

Для базового шага мы должны проверить, выполняется ли утверждение для начального значения n. В данном случае мы можем проверить n = 2.

Подставим n = 2 в выражение 2n^3 - 3n^2 + n: 2(2)^3 - 3(2)^2 + 2 = 16 - 12 + 2 = 6.

Мы видим, что выражение равно 6, и 6 делится на 6 без остатка. Таким образом, базовый шаг выполнен.

Шаг индукции:

Для шага индукции мы предполагаем, что утверждение выполняется для некоторого значения n = k. То есть предполагаем, что 2k^3 - 3k^2 + k делится на 6 при k > 1.

Теперь нам нужно доказать, что если утверждение выполняется для n = k, то оно также выполняется для n = k + 1.

Рассмотрим выражение для n = k + 1: 2(k + 1)^3 - 3(k + 1)^2 + (k + 1).

Мы можем раскрыть скобки и упростить это выражение: 2(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) - 3(k^2 + 2k + 1) + k + 1.

Раскроем скобки: 2k^3 + 6k^2 + 6k + 2 - 3k^2 - 6k - 3 + k + 1.

Объединим подобные члены: 2k^3 - 3k^2 + k + 2.

Мы видим, что это выражение совпадает с исходным выражением за исключением константы 2. Так как мы предполагаем, что 2k^3 - 3k^2 + k делится на 6 при k > 1, то 2k^3 - 3k^2 + k + 2 также будет делиться на 6.

Таким образом, мы доказали, что если утверждение выполняется для n = k, то оно также выполняется для n = k + 1.

Заключение:

Исходя из базового шага и шага индукции, мы можем сделать вывод, что число 2n^3 - 3n^2 + n делится на 6 при любом n, где n принадлежит множеству натуральных чисел и n > 1.