Question

Темка "Нестрогие неравенства" .Решите пожалуйста подробно один всего лишь пример с объяснением! Я не много запуталась и нужна ваша помощь) x²-4x-1/x-2≤x+2 вот и все))

Answer 1

X2-4x-1/x+2<_x+2 | ×x+2
x2-4x-1<_x2+4
x2-4x-x2<_4+1
-4x<_5 |÷(-4)
x>_1 целая 1/4

Answer 2

Конечно, давайте решим данное неравенство:

\[ \frac{x^2 - 4x - 1}{x - 2} \leq x + 2 \]

Сначала давайте упростим левую часть:

\[ \frac{x^2 - 4x - 1}{x - 2} \]

Факторизуем числитель:

\[ \frac{(x - a)(x - b)}{x - 2} \]

Чтобы найти \(a\) и \(b\), умножим первый член \((x - a)\) на \(x\) и второй член \((- b)\) на \(-1\):

\[ (x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab \]

Сравниваем это с исходным числителем \(x^2 - 4x - 1\):

\[ a + b = 4 \] \[ ab = -1 \]

Решаем эту систему уравнений. Можно выбрать, например, \(a = -1\) и \(b = 5\). Тогда:

\[ \frac{x^2 - 4x - 1}{x - 2} = \frac{(x + 1)(x - 5)}{x - 2} \]

Теперь подставим это обратно в наше исходное неравенство:

\[ \frac{(x + 1)(x - 5)}{x - 2} \leq x + 2 \]

Теперь у нас есть дробь слева и \(x + 2\) справа. Умножим обе стороны на \((x - 2)\), чтобы избавиться от дроби в левой части:

\[ (x + 1)(x - 5) \leq (x + 2)(x - 2) \]

Раскроем скобки:

\[ x^2 - 5x + x - 5 \leq x^2 + 2x - 4 \]

Упростим:

\[ x^2 - 4x - 1 \leq x^2 + 2x - 4 \]

Теперь вычитаем \(x^2\) из обеих сторон:

\[ -4x - 1 \leq 2x - 4 \]

Теперь прибавим \(4x\) к обеим сторонам:

\[ -1 \leq 6x - 4 \]

Теперь прибавим 4 к обеим сторонам:

\[ 3 \leq 6x \]

Разделим обе стороны на 6:

\[ \frac{1}{2} \leq x \]

Таким образом, решение данного неравенства: \(\frac{1}{2} \leq x\).