Question

Решить уравнение 7×49^(х)+3×28^(x) = 4×16^(x)

Answer 1

$7*49^x+3*28^x=4*16^x$
$7*49^x+3*28^x-4*16^x=0$
$7* 7^{2x} +3*4^x*7^x-4* 4^{2x} =0$   $|$ $: 4^{2x}$
$7*( \frac{7}{4})^{2x}+3*( \frac{7}{4} )^x-4=0$
Замена: $( \frac{7}{4} )^x=t,$  $t\ \textgreater \ 0$
$7t^2+3t-4=0$
$D=3^2-4*7*(-4)=9+112=121=11^2$
$t_1= \frac{-3+11}{14} = \frac{4}{7}$
$t_1= \frac{-3-11}{14} = -1$   ∅
$(\frac{7}{4} )^x= \frac{4}{7}$
$(\frac{7}{4} )^x= (\frac{7}{4} )^{-1}$
$x=-1$

Ответ: $-1$

Answer 2

Чтобы решить уравнение \(7 \times 49^x + 3 \times 28^x = 4 \times 16^x\), давайте преобразим его, чтобы упростить выражения с разными базами. Заметим, что \(49 = 7^2\), \(28 = 7 \times 4\), и \(16 = 4^2\). Теперь мы можем заменить эти значения в уравнении:

\[7 \times (7^2)^x + 3 \times (7 \times 4)^x = 4 \times (4^2)^x.\]

Далее раскроем степени:

\[7 \times 7^{2x} + 3 \times 7^x \times 4^x = 4 \times 4^{2x}.\]

Теперь у нас есть уравнение с одной переменной \(x\), и мы можем преобразовать его к более простому виду. Перепишем уравнение, заметив, что \(4 = 2^2\):

\[7 \times 7^{2x} + 3 \times 7^x \times 2^{2x} = 4 \times 2^{4x}.\]

Теперь сгруппируем подобные члены:

\[7 \times 7^{2x} + 3 \times 7^x \times 2^{2x} - 4 \times 2^{4x} = 0.\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где:

\[a = 7,\] \[b = 3 \times 7^x,\] \[c = -4 \times 2^{4x}.\]

Теперь мы можем воспользоваться квадратным уравнением, чтобы решить для \(x\). Дискриминант квадратного уравнения \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), у уравнения два корня; если \(D = 0\), у уравнения один корень; если \(D < 0\), у уравнения нет решений.

В данном случае, уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) имеет вид:

\[7x^2 + 3 \times 7^x \times x - 4 \times 2^{4x} = 0.\]

Мы можем использовать стандартную формулу для дискриминанта:

\[D = (3 \times 7^x)^2 - 4 \times 7 \times (-4 \times 2^{4x}).\]

Если \(D > 0\), решения можно найти с использованием формулы:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\]

Если \(D = 0\), то решение:

\[x = \frac{-b}{2a}.\]

Если \(D < 0\), у уравнения нет решений.

Давайте подставим значения и вычислим дискриминант.