Question

Тема 4. Квадратные уравнения. Рациональные уравнения. Решите уравнение: а) х/2х+3=1/х б) 2х+5/х^2+x - 2/x = 3x/x+1 Решите уравнения с методом введения новой переменной: а) 4x^4 - 17x^2 + 4 = 0 б) (x^2 - 2x)^2 + (x^2 - 2x)=12 (не обязательно)

Answer 1

........................

Answer 2

Решение уравнения а) х/2х + 3 = 1/х

Для начала, упростим уравнение: х/2х + 3 = 1/х

Сократим дробь слева от знака равенства: 1/2 + 3 = 1/х

Сложим дроби слева от знака равенства: 6/2 = 1/х

Упростим: 3 = 1/х

Теперь найдем общий знаменатель: 3 * х = 1

Разделим обе части уравнения на 3: х = 1/3

Таким образом, решением уравнения а) является х = 1/3.

Решение уравнения б) 2х + 5/х^2+x - 2/x = 3x/x+1

Для начала, упростим уравнение: 2х + 5/х^2+x - 2/x = 3x/x+1

Умножим все части уравнения на (х^2+x): (2х + 5)(х^2+x)/х^2+x - 2/x = (3x/x+1)(х^2+x)

Упростим обе части уравнения: (2х^3 + 7х^2 + 5х - 2)(1) - 2 = 3х^3 + 3х^2

Раскроем скобки: 2х^3 + 7х^2 + 5х - 2 - 2 = 3х^3 + 3х^2

Сгруппируем одночлены: 2х^3 - 3х^3 + 7х^2 - 3х^2 + 5х = 2

Упростим: -x^3 + 4х^2 + 5х = 2

Перенесем все члены в левую часть уравнения: -x^3 + 4х^2 + 5х - 2 = 0

Теперь мы можем ввести новую переменную, например, пусть u = x^2: -u^3 + 4u + 5√u - 2 = 0

Решение данного уравнения требует использования численных методов, таких как метод Ньютона или метод половинного деления. Эти методы позволяют найти приближенное значение u. После нахождения u, можно найти x, используя уравнение x^2 = u. Однако, точное аналитическое решение данного уравнения не существует.

Решение уравнения а) 4x^4 - 17x^2 + 4 = 0

Для начала, упростим уравнение: 4x^4 - 17x^2 + 4 = 0

Мы можем ввести новую переменную, пусть z = x^2: 4z^2 - 17z + 4 = 0

Решим данное квадратное уравнение с помощью квадратного трехчлена или метода дискриминанта. Дискриминант данного уравнения равен D = (-17)^2 - 4 * 4 * 4 = 289 - 64 = 225.

Поскольку дискриминант положительный, у нас есть два действительных корня: z1 = (-(-17) + √225) / (2 * 4) = (17 + 15) / 8 = 32 / 8 = 4 z2 = (-(-17) - √225) / (2 * 4) = (17 - 15) / 8 = 2 / 8 = 1/4

Теперь найдем значения x: Для z1: x^2 = 4 => x1 = √4 = 2 и x2 = -√4 = -2 Для z2: x^2 = 1/4 => x3 = √(1/4) = 1/2 и x4 = -√(1/4) = -1/2

Таким образом, решение уравнения а) состоит из четырех значений: x1 = 2, x2 = -2, x3 = 1/2 и x4 = -1/2.

Решение уравнения б) (x^2 - 2x)^2 + (x^2 - 2x) = 12

Для начала, упростим уравнение: (x^2 - 2x)^2 + (x^2 - 2x) = 12

Раскроем скобки: (x^4 - 4x^3 + 4x^2) + (x^2 - 2x) = 12

Сгруппируем одночлены: x^4 - 4x^3 + 4x^2 + x^2 - 2x = 12

Упростим: x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 2x = 12

Перенесем все члены в левую часть уравнения: x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 2x - 12 = 0

Решение данного уравнения требует использования численных методов, таких как метод Ньютона или метод половинного деления. Эти методы позволяют найти приближенное значение x. Однако, точное аналитическое решение данного уравнения не существует.