Question

Sin^6 x+cos^6 x=7/4 cos^2 2x

Answer 1

$\sin^6x+\cos^6x= \frac{7}{4} \cos^22x\\ (1-\cos^2x)^3+\cos^6x=\frac{7}{4}\cdot (2\cos^2x-1)^2$
Произведем замену переменных
пусть $\cos x=t$ (|t|≤1), тогда получаем
 $(1-t^2)^3+t^6=1.75(2t^2-1)^2\\ -(t^2-1)^3+t^6-1.75(2t^2-1)^2=0$
Пусть $t^2=z\,(z \geq 0)$, откуда
$-(z-1)^3+z^3-1.75(2x-1)^2=0\\ -(z^3-3z^2+3z-1)+z^3-1.75(4z^2-4z+1)=0\\ -z^3+3z^2-3z+1+z^3-7z^2+7z-1.75=0\\4z^2-4z+0.75=0|\cdot 4\\ 16z^2-16z+3=0 \\ D=b^2-4ac=(-16)^2-4\cdot 16\cdot 3=64 \\ z_1= \frac{16-8}{2\cdot16} =0.25\\z_2= \frac{16+8}{2\cdot16}=0.75$
 Обратная замена
$t^2=0.25\\ t=\pm 0.5\\ t^2=0.75\\t=\pm \frac{ \sqrt{3} }{2}$

Возвращаемся к замене
$\cos x=\frac{ \sqrt{3} }{2}\\ x=\pm \frac{\pi}{6}+2 \pi n,n \in Z\\ \\ \cos x=-\frac{ \sqrt{3} }{2}\\ x=\pm \frac{5 \pi }{6} +2 \pi n,n \in Z\\ \\ \cos x=0.5\\ x=\pm \frac{\pi}{3}+2 \pi n,n \in Z\\ \\ \cos x=-0.5\\ x=\pm \frac{2 \pi }{3} +2 \pi n,n\in Z$

Answer 2

Для начала, заметим, что sin^6(x) + cos^6(x) можно представить как (sin^2(x) + cos^2(x))(sin^4(x) - sin^2(x)cos^2(x) + cos^4(x)). При этом, согласно тождеству Пифагора, sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Подставим это в уравнение:

1(sin^4(x) - sin^2(x)cos^2(x) + cos^4(x)) = 7/4 + cos^2(2x).

Теперь заметим, что sin^4(x) - sin^2(x)cos^2(x) + cos^4(x) можно представить как (sin^2(x) + cos^2(x))^2 - 3sin^2(x)cos^2(x). Снова используем тождество Пифагора, чтобы заменить sin^2(x) + cos^2(x) на 1:

1 - 3sin^2(x)cos^2(x) = 7/4 + cos^2(2x).

Перенесем все в левую часть уравнения:

1 - 3sin^2(x)cos^2(x) - 7/4 - cos^2(2x) = 0.

Упростим:

4 - 12sin^2(x)cos^2(x) - 7 - 4cos^2(2x) = 0.

4 - 12sin^2(x)cos^2(x) - 7 - 4(2cos^2(x) - 1)^2 = 0.

4 - 12sin^2(x)cos^2(x) - 7 - 4(4cos^4(x) - 4cos^2(x) + 1) = 0.

4 - 12sin^2(x)cos^2(x) - 7 - 16cos^4(x) + 16cos^2(x) - 4 = 0.

-12sin^2(x)cos^2(x) - 16cos^4(x) + 16cos^2(x) - 7 = 0.

Теперь можно заметить, что у нас есть два слагаемых, содержащих cos^2(x), поэтому можно сгруппировать их:

(-12sin^2(x)cos^2(x) + 16cos^2(x)) - 16cos^4(x) - 7 = 0.

4cos^2(x)(-3sin^2(x) + 4) - 16cos^4(x) - 7 = 0.

4cos^2(x)(-3sin^2(x) + 4) - 16cos^2(x)cos^2(x) - 7 = 0.

4cos^2(x)(-3sin^2(x) + 4 - 4cos^2(x)) - 7 = 0.

4cos^2(x)(-3sin^2(x) + 4 - 4(1 - sin^2(x))) - 7 = 0.

4cos^2(x)(-3sin^2(x) + 4 - 4 + 4sin^2(x)) - 7 = 0.

4cos^2(x)(sin^2(x) + 1) - 7 = 0.

4cos^2(x)(sin^2(x) + cos^2(x)) - 7 = 0.

4cos^2(x) - 7 = 0.

4cos^2(x) = 7.

cos^2(x) = 7/4.

cos(x) = +/- sqrt(7)/2.

Таким образом, уравнение имеет два решения: x = arccos(sqrt(7)/2) и x = -arccos(sqrt(7)/2).