Question

x-2y-z=1 3x-7y-3z=4 5x-10y-4z=7

Answer 1

Домножу 1 уравнение на 3 и вычту 2
y=-1
домножу 1 на 5 и вычту из него 3
z=2
найду х
x=1-2+2=1

Answer 2

Умножим первое уравнение на 5 и вычтем из третьего уравнения:
5х - 10у - 4z - 5*(x - 2y - z) = 7 - 5, отсюда z = 2.
Подставим в первое и второе уравнение z = 2:
x - 2y = 3
3х - 7у = 10
Умножим первое уравнение на 3 и вычтем второе из первого:
3*(х - 2у) - (3х - 7у) = 3*3 - 10, отсюда у = -1. Тогда находим х = 1.

Answer 3

Данная система уравнений может быть решена с использованием метода Гаусса или метода Крамера. Оба метода позволяют найти значения переменных x, y и z, удовлетворяющие системе уравнений.

Метод Гаусса

Метод Гаусса заключается в преобразовании данной системы уравнений в эквивалентную систему, где каждое последующее уравнение содержит меньше переменных, чем предыдущее. Затем система решается последовательным выражением переменных.

Для начала, представим данную систему в матричной форме:

1x - 2y - 1z = 1
3x - 7y - 3z = 4
5x - 10y - 4z = 7

Создадим расширенную матрицу, добавив столбец свободных членов:

1 -2 -1 | 1
3 -7 -3 | 4
5 -10 -4 | 7

Применим элементарные преобразования строк для приведения матрицы к ступенчатому виду:

1. Вычтем первую строку из второй строки, умноженную на 3:

1 -2 -1 | 1
0 -1 0 | 1
5 -10 -4 | 7

2. Вычтем первую строку из третьей строки, умноженную на 5:

1 -2 -1 | 1
0 -1 0 | 1
0 0 1 | 2

3. Вычтем вторую строку из третьей строки, умноженную на -1:

1 -2 -1 | 1
0 -1 0 | 1
0 0 1 | 2

Теперь матрица находится в ступенчатом виде.

Обратный ход

Теперь, начиная с последнего уравнения, найдем значения переменных x, y и z, последовательно выражая их через предыдущие переменные.

Из третьего уравнения получаем: z = 2.

Подставим это значение во второе уравнение: -y = 1, откуда y = -1.

Теперь подставим значения y и z в первое уравнение: x - 2(-1) - 1(2) = 1, что дает x = 2.

Таким образом, решение системы уравнений x - 2y - z = 1, 3x - 7y - 3z = 4, 5x - 10y - 4z = 7 равно x = 2, y = -1, z = 2.

Метод Крамера

Метод Крамера позволяет найти решение системы линейных уравнений с помощью вычисления определителей матрицы коэффициентов и матрицы переменных.

Для данной системы уравнений:

x - 2y - z = 1
3x - 7y - 3z = 4
5x - 10y - 4z = 7

Вычислим определитель матрицы коэффициентов:

| 1 -2 -1 |
| 3 -7 -3 |
| 5 -10 -4 |

det(A) = 1*(-7*-4 - (-3*-10)) - 2*(3*-4 - (-3*5)) - 1*(3*-10 - 5*-7) = 1*(-28 - 30) - 2*(-12 - 15) - 1*(-30 + 35) = 58 - 54 + 5 = 9

Вычислим определитель матрицы переменных для каждой переменной:

| 1  -2 -1 |
| 4  -7 -3 |
| 7 -10 -4 |

det(Ax) = 1*(-7*-4 - (-3*-10)) - (-2)*(4*-4 - (-3*7)) - 1*(4*-10 - 7*-7) = 1*(-28 - 30) - (-2)*(-16 - 21) - 1*(-40 + 49) = 58 - 70 - 9 = -21

| 1 -2  -1 |
| 3  4  -3 |
| 5  7  -4 |

det(Ay) = 1*(4*-4 - (-3*7)) - (-2)*(3*-4 - (-3*5)) - 1*(3*7 - 5*4) = 1*(-16 - 21) - (-2)*(-12 - 15) - 1*(21 - 20) = -37 + 54 - 1 = 16

| 1 -2 -1 |
| 3 -7  4 |
| 5 -10 7 |

det(Az) = 1*(-7*7 - 4*-10) - (-2)*(3*7 - 5*4) - (-1)*(3*-10 - 5*-7) = 1*(-49 + 40) - (-2)*(21 - 20) - (-1)*(-30 + 35) = -9 - 2 + 5 = -6

Теперь найдем значения переменных x, y и z, используя формулы:

x = det(Ax) / det(A) = -21 / 9 = -7/3

y = det(Ay) / det(A) = 16 / 9 = 16/9

z = det(Az) / det(A) = -6 / 9 = -2/3

Таким образом, решение системы уравнений x - 2y - z = 1, 3x - 7y - 3z = 4, 5x - 10y - 4z = 7 равно x = -7/3, y = 16/9, z = -2/3.

Обратите внимание, что оба метода дали одинаковый результат, что подтверждает правильность решения системы уравнений.