Question

Решите с объяснением: cos x + cos 5x + 2sin^2 x = 1

Answer 1

2сos3xcos2x-cos2x=0

cos2x=0

x=П/4(2k+1)

2cos3x=1

cos3x=1/2

x=+-П/9+2kП/3

Answer 2

Сразу подметим что: sin^2x+cos^2x=1

cosx+cos5x+2sin^2x= sin^2x+cos^2x

Переносим всё в левую часть 

 

cosx+cos5x+2sin^2x-sin^2x-cos^2x=0

 cosx+cos5x+sin^2x-cos^2x=0

Учтем что sin^2x можно варазить как (1-cos2x)/2 а cos^2x как (1+cos2x)/2

Получаем

cosx+cos5x+ ((1-cos2x)/2)-((1+cos2x)/2)=0   

 

 cosx+cos5x+((1-cos2x)/2)-1-cos2x/2=0 

((1-cos2x)/2)-1-cos2x/2 - мы имее общий знаменатель значит можем вычесть и получим

cosx+cos5x-cosx=0

cos5x=0

cosx=0

x=п/2+пn, nэZ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 3

Дано уравнение: cos(x) + cos(5x) + 2sin^2(x) = 1

Для решения этого уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества и свойства функций.

1. Преобразование синуса в косинус

Мы знаем, что sin^2(x) = 1 - cos^2(x). Подставим это в исходное уравнение:

cos(x) + cos(5x) + 2(1 - cos^2(x)) = 1

2. Упрощение уравнения

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

cos(x) + cos(5x) + 2 - 2cos^2(x) = 1

Упорядочим члены по степеням cos(x):

-2cos^2(x) + cos(x) + cos(5x) + 2 = 1

3. Перенос всех членов в левую сторону

-2cos^2(x) + cos(x) + cos(5x) + 2 - 1 = 0

-2cos^2(x) + cos(x) + cos(5x) + 1 = 0

4. Факторизация

Для упрощения уравнения, мы можем факторизовать -2cos^2(x) + cos(x) как cos(x)(-2cos(x) + 1):

cos(x)(-2cos(x) + 1) + cos(5x) + 1 = 0

5. Разложение на два уравнения

Теперь у нас есть два уравнения:

cos(x) = 0

-2cos(x) + 1 = 0

6. Решение первого уравнения

cos(x) = 0 имеет решения при x = π/2 + kπ, где k - целое число.

7. Решение второго уравнения

-2cos(x) + 1 = 0

Решим это уравнение:

2cos(x) = 1

cos(x) = 1/2

Это уравнение имеет решения при x = π/3 + 2kπ и x = 5π/3 + 2kπ, где k - целое число.

8. Итоговые решения

Таким образом, уравнение cos(x) + cos(5x) + 2sin^2(x) = 1 имеет следующие решения:

x = π/2 + kπ, где k - целое число.

x = π/3 + 2kπ и x = 5π/3 + 2kπ, где k - целое число.