Question

Помогите решить систему плиз!!! {x+y=pi/2 {sinx+siny=-√2

Answer 1

Формулой суммы синусов получаешь:
2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)= -sqrt(2)
подставляешь из первого уравнения, получаешь:
2sin(pi/4)*cos((x-y)/2)=-sqrt(2)
sin(pi/4)=sqrt(2)/2
sqrt(2)*cos((x-y)/2)=-sqrt(2)
cos((x-y)/2)=-1
(x-y)/2= pi + 2*pi*n
=>
x+y=pi/2
x-y=2pi+4*pi*n
выражаем из первого y:
y=pi/2 - x
x-pi/2+x=2pi + 4pi*n

y=pi/2-x
2x=5pi/2+4pin

y=pi/2-x
x=5pi/4 + 2pin

y=pi/2-5pi/4 - 2pin

y=-3pi/4 - 2pin
x=5pi/4 + 2pin
n ∈ Z

Answer 2

Для решения данной системы уравнений, мы можем использовать метод подстановки.

Из первого уравнения, x + y = pi/2, мы можем выразить одну переменную через другую. Допустим, мы выразим y через x: y = pi/2 - x.

Теперь подставим это выражение для y во второе уравнение:

sin(x) + sin(pi/2 - x) = -sqrt(2).

sin(pi/2 - x) можно записать как cos(x), так как sin(pi/2 - x) = cos(x).

Теперь у нас есть уравнение: sin(x) + cos(x) = -sqrt(2).

Для решения этого уравнения, мы можем использовать тригонометрическую идентичность:

sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x)).

Подставим это выражение в уравнение: sqrt(1 - cos^2(x)) + cos(x) = -sqrt(2).

Возведем оба выражения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

1 - cos^2(x) + 2sqrt(1 - cos^2(x))cos(x) + cos^2(x) = 2.

Упростим это уравнение:

2sqrt(1 - cos^2(x))cos(x) = 1.

Теперь разделим обе части уравнения на 2cos(x):

sqrt(1 - cos^2(x)) = 1 / (2cos(x)).

Возведем обе части уравнения в квадрат:

1 - cos^2(x) = 1 / (4cos^2(x)).

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

4cos^2(x) - cos^2(x) - 1 = 0.

Упростим:

3cos^2(x) - 1 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение относительно cos(x):

cos^2(x) = 1/3.

cos(x) = ± sqrt(1/3).

Теперь найдем значения x и y, используя выражение y = pi/2 - x:

x = arccos(sqrt(1/3)) или x = arccos(-sqrt(1/3)).

y = pi/2 - x.

Вычислив значения arccos(sqrt(1/3)) и arccos(-sqrt(1/3)), мы получим значения x и y.

Например, если x = arccos(sqrt(1/3)), то y = pi/2 - arccos(sqrt(1/3)).

И таким образом, мы найдем все решения системы уравнений.