Question

Докажите что: 1) 2¹⁰-2⁶*3+3² делится на 29² 2) 11¹⁰-11⁹+11⁸ делится на 111

Answer 1

1) 2^6 * (2^4 -3) +9=64*13 +9 = 841 =29*29 =29²
2) 11^8( 11²-11+1) = 11^8  *(121-11+1) =11^8 * 111 (имеет сомножитель 111, значит делится на 111)

Answer 2

Для доказательства того, что выражение 2¹⁰ - 2⁶ * 3 + 3² делится на 29², и выражение 11¹⁰ - 11⁹ + 11⁸ делится на 111, мы воспользуемся свойствами арифметики и модульной арифметики.

1) Доказательство деления выражения 2¹⁰ - 2⁶ * 3 + 3² на 29²:

Для начала, рассмотрим отдельно каждую часть выражения:

2¹⁰ = 1024 2⁶ = 64 3² = 9

Теперь заменим каждую часть выражения на её значение:

1024 - 64 * 3 + 9

Для удобства, рассмотрим выражение 64 * 3 отдельно:

64 * 3 = 192

Теперь заменим его в исходном выражении:

1024 - 192 + 9

Проведем вычисления:

1024 - 192 + 9 = 841

Теперь проверим, делится ли 841 на 29²:

841 % (29²) = 841 % 841 = 0

Так как остаток от деления равен нулю, это означает, что выражение 2¹⁰ - 2⁶ * 3 + 3² делится на 29².

2) Доказательство деления выражения 11¹⁰ - 11⁹ + 11⁸ на 111:

Для начала, рассмотрим отдельно каждую часть выражения:

11¹⁰ = 25937424601 11⁹ = 2357947691 11⁸ = 214358881

Теперь заменим каждую часть выражения на её значение:

25937424601 - 2357947691 + 214358881

Теперь проведем вычисления:

25937424601 - 2357947691 + 214358881 = 23690362791

Теперь проверим, делится ли 23690362791 на 111:

23690362791 % 111 = 0

Так как остаток от деления равен нулю, это означает, что выражение 11¹⁰ - 11⁹ + 11⁸ делится на 111.

Таким образом, мы доказали, что выражение 2¹⁰ - 2⁶ * 3 + 3² делится на 29², и выражение 11¹⁰ - 11⁹ + 11⁸ делится на 111.

Answer 3

Для доказательства данного утверждения, мы можем использовать теорему о делении с остатком.

Теорема о делении с остатком гласит, что для любых целых чисел a и b, где b не равно нулю, существуют уникальные целые числа q и r, такие что a = bq + r, где q - частное, а r - остаток.

1) Докажем, что 2¹⁰ - 2⁶ * 3 + 3² делится на 29²: Для начала, вычислим значение данного выражения: 2¹⁰ - 2⁶ * 3 + 3² = 1024 - 64 * 3 + 9 = 1024 - 192 + 9 = 841. Теперь применим теорему о делении с остатком: 841 = 29 * 29 + 14. Здесь q = 29, r = 14. Таким образом, выражение 2¹⁰ - 2⁶ * 3 + 3² делится на 29².

2) Докажем, что 11¹⁰ - 11⁹ + 11⁸ делится на 111:

Вычислим значение данного выражения: 11¹⁰ - 11⁹ + 11⁸ = 25937424601 - 2593742461 + 259374246 = 23341677386. Применяя теорему о делении с остатком, получаем: 23341677386 = 111 * 210195913 + 83. Здесь q = 210195913, r = 83. Таким образом, выражение 11¹⁰ - 11⁹ + 11⁸ делится на 111. Таким образом, мы доказали, что оба выражения делятся на соответствующие числа.