Question

(1 + ctg^2a)sin^2a-cos^2a

Answer 1

$(1+ctg^2 \alpha )\sin^2 \alpha -\cos^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha} \times\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha$

Answer 2

Для решения данного выражения, давайте разберемся с функциями тригонометрии и используем основные тригонометрические тождества.

Данное выражение: \( (1 + \cot^2{a})\sin^2{a} - \cos^2{a} \)

Первым шагом преобразуем \(\cot^2{a}\) через базовое тригонометрическое тождество: \[\cot{a} = \frac{1}{\tan{a}} = \frac{\cos{a}}{\sin{a}}\] Таким образом, \[\cot^2{a} = \left(\frac{\cos{a}}{\sin{a}}\right)^2 = \frac{\cos^2{a}}{\sin^2{a}}\]

Подставляем это значение в исходное выражение: \[(1 + \frac{\cos^2{a}}{\sin^2{a}})\sin^2{a} - \cos^2{a}\]

Теперь у нас есть выражение с \(\sin^2{a}\) и \(\cos^2{a}\). Мы знаем, что \(\sin^2{a} + \cos^2{a} = 1\) (тригонометрическое тождество Пифагора).

Заменим \(\cos^2{a}\) в исходном выражении с помощью этого тождества: \[(1 + \frac{\cos^2{a}}{\sin^2{a}})\sin^2{a} - (1 - \sin^2{a})\]

Раскроем скобки: \[\sin^2{a} + \cos^2{a} - \frac{\cos^2{a}}{\sin^2{a}}\sin^2{a} - 1 + \sin^2{a}\]

Упростим: \[1 - \cos^2{a} - \cos^2{a} + 1 = 2 - 2\cos^2{a}\]

Теперь используем тригонометрическое тождество \( \cos^2{a} = 1 - \sin^2{a} \): \[2 - 2(1 - \sin^2{a}) = 2 - 2 + 2\sin^2{a} = 2\sin^2{a}\]

Таким образом, после всех преобразований и упрощений, данное выражение упрощается до \(2\sin^2{a}\).