Question

Доказать, что многочлен 5х²+4у²+9z²+4ху-6уz+5 принимает неотрицательные значения для любых х у z

Answer 1

=(2х+y)^2+x^2+(y-3z)^2+2y^2+5
квадратные уравнения  всегда больше либо равны 0, но так как тут прибавляет 5, то выражение всегда положительное

Answer 2

Для доказательства того, что многочлен 5х² + 4у² + 9z² + 4ху - 6уz + 5 принимает неотрицательные значения для любых х, у и z, мы можем воспользоваться методом анализа квадратичных форм.

Анализ квадратичных форм

Мы можем представить данный многочлен в виде квадратичной формы, где коэффициенты перед квадратичными членами образуют матрицу, а переменные х, у и z образуют вектор. В данном случае, матрица коэффициентов будет иметь вид:

A = | 5  2  0 |
    | 2  4 -3 |
    | 0 -3  9 |

Положительная определенность матрицы

Для того чтобы доказать, что многочлен принимает неотрицательные значения для любых х, у и z, нам необходимо показать, что матрица A является положительно определенной. Это означает, что для любого ненулевого вектора x, x^T * A * x > 0.

Проверка положительной определенности

Для проверки положительной определенности матрицы A, мы можем воспользоваться критерием Сильвестра. Критерий Сильвестра гласит, что все главные миноры матрицы A должны быть положительными.

Главные миноры матрицы A

Главные миноры матрицы A можно получить, вычислив определители следующих подматриц:

- Минор первого порядка: 5 - Минор второго порядка: | 5 2 | | 2 4 | - Минор третьего порядка: | 5 2 0 | | 2 4 -3 | | 0 -3 9 |

Проверка положительности главных миноров

Вычислим определители главных миноров:

- Определитель минора первого порядка: 5 > 0 - Определитель минора второго порядка: 5*4 - 2*2 = 16 > 0 - Определитель минора третьего порядка: 5*(4*9 - (-3)*(-3)) + 2*(-3*9) + 0*(2*(-3) - 4*0) = 5*(36 - 9) + 2*(-27) = 180 - 54 = 126 > 0

Вывод

Таким образом, все главные миноры матрицы A положительны, что означает, что матрица A является положительно определенной. Следовательно, многочлен 5х² + 4у² + 9z² + 4ху - 6уz + 5 принимает неотрицательные значения для любых х, у и z.