Question

Решить биквадратное уравнение: y4-6y2+8=0

Answer 1

Y^2=t
t^2-6t+8=0
(t-2)(t-4)=0
y^2=4
y=2
y=-2
$y^{2}=2 \\ y= \sqrt{2} \\ y=- \sqrt{2}$

Answer 2

Для решения биквадратного уравнения y^4 - 6y^2 + 8 = 0, мы можем применить замену переменной, чтобы представить его в квадратном виде.

Пусть z = y^2. Тогда мы можем записать исходное уравнение в новых переменных: z^2 - 6z + 8 = 0.

Теперь решим это уравнение, используя стандартные методы для квадратных уравнений. Мы можем попытаться разложить его на множители или использовать квадратное уравнение в общем виде.

Разложение на множители не сработает, поэтому воспользуемся формулой для решения квадратного уравнения. Для уравнения вида az^2 + bz + c = 0, где a, b и c - константы, мы можем использовать формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac.

В нашем случае a = 1, b = -6 и c = 8. Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

D = (-6)^2 - 4 * 1 * 8 = 36 - 32 = 4.

Теперь, когда у нас есть значение дискриминанта, мы можем использовать его, чтобы найти решения уравнения. Если D > 0, у нас будет два действительных корня. Если D = 0, у нас будет один корень. Если D < 0, у нас не будет действительных корней.

В нашем случае D = 4, поэтому у нас будет два действительных корня.

Формула для нахождения корней квадратного уравнения:

z1,2 = (-b ± √D) / (2a).

Подставим значения a, b и D в эту формулу:

z1,2 = (6 ± √4) / (2 * 1) = (6 ± 2) / 2 = 4 и 2.

Теперь, когда у нас есть значения z1 и z2, мы можем найти значения y, используя замену переменной, которую мы сделали ранее.

y^2 = z1 = 4, поэтому y1 = ± √4 = ±2.

y^2 = z2 = 2, поэтому y2 = ± √2.

Таким образом, у нас есть четыре решения для исходного биквадратного уравнения:

y1 = 2, y2 = -2, y3 = √2, y4 = -√2.

Исходное биквадратное уравнение y^4 - 6y^2 + 8 = 0 имеет четыре решения: y1 = 2, y2 = -2, y3 = √2 и y4 = -√2.