Question

Решить уравнение 2cos^2 x+5sinx-4=0

Answer 1

2(1-sin^2x)+5sinx-4=0

2-2sin^2x+5sinx-4=0

2sin^2x-5sinx+2=0

(5+-sqrt(25-16))/4

(5+-3)/4

-1<=sinx<=1

sinx=1/2

x1=П/6+2Пk

x2=5/6П+2Пk

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте разложим квадрат косинуса и перепишем уравнение в виде:

2(1 - sin^2(x)) + 5sin(x) - 4 = 0.

Теперь заменим sin^2(x) на (1 - cos^2(x)), получаем:

2 - 2sin^2(x) + 5sin(x) - 4 = 0.

Упростим это уравнение:

-2sin^2(x) + 5sin(x) - 2 = 0.

Чтобы решить это квадратное уравнение относительно sin(x), мы можем использовать квадратное уравнение, где a = -2, b = 5 и c = -2.

Для решения квадратного уравнения, мы можем использовать формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac.

Подставим значения a, b и c в формулу дискриминанта:

D = (5^2) - 4(-2)(-2) = 25 - 16 = 9.

Теперь, когда у нас есть значение дискриминанта, мы можем рассмотреть три случая:

1. Если D > 0, то у уравнения есть два действительных корня. 2. Если D = 0, то у уравнения есть один действительный корень. 3. Если D < 0, то у уравнения нет действительных корней.

Решение первого случая: D > 0

Так как D > 0, у нас есть два действительных корня. Мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

sin(x) = (-b ± √D) / (2a).

Подставим значения a, b и D в формулу:

sin(x) = (-5 ± √9) / (2*(-2)).

Упростим это выражение:

sin(x) = (-5 ± 3) / (-4).

Теперь рассмотрим два случая:

1. Если sin(x) = (-5 + 3) / (-4), то sin(x) = -2 / (-4) = 1/2. 2. Если sin(x) = (-5 - 3) / (-4), то sin(x) = -8 / (-4) = 2.

Теперь, чтобы найти значения x, мы можем использовать обратные функции sin(x) для каждого значения sin(x):

1. Если sin(x) = 1/2, то x = arcsin(1/2) = π/6. 2. Если sin(x) = 2, то такого значения не существует, так как sin(x) не может быть больше 1.

Решение второго случая: D = 0

Так как D = 0, у нас есть один действительный корень. Подставим значения a, b и D в формулу:

sin(x) = (-5 ± √0) / (2*(-2)).

Упростим это выражение:

sin(x) = -5 / (-4) = 5/4.

Теперь, чтобы найти значение x, мы можем использовать обратную функцию sin(x):

sin(x) = 5/4, то x = arcsin(5/4).

Однако, это значение не существует, так как sin(x) не может быть больше 1.

Решение третьего случая: D < 0

Так как D < 0, у нас нет действительных корней уравнения.

Итоговый ответ

Уравнение 2cos^2(x) + 5sin(x) - 4 = 0 имеет один действительный корень x = π/6.