Question

Найти промежутки убывания функции f(x)=x³-6x²+5

Answer 1

F(x)=x^3-6x^2+5; f '(x)=3x^2-6x=3x(x-2)-производная; 3x=0 или x-2=0; x=0 x=2; Методом интервалов, найдешь промежутки убывания функции; Ответ:(0;2) Думаю,так!

Answer 2

Чтобы найти промежутки убывания функции \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 5 \), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции \( f'(x) \). 2. Решите уравнение \( f'(x) = 0 \), чтобы найти критические точки. 3. Проверьте значения производной в интервалах между критическими точками.

Давайте выполним эти шаги:

1. Находим производную \( f'(x) \):

\[ f'(x) = 3x^2 - 12x \]

2. Находим критические точки, решив уравнение \( f'(x) = 0 \):

\[ 3x^2 - 12x = 0 \]

Выносим общий множитель:

\[ 3x(x - 4) = 0 \]

Таким образом, \( x = 0 \) или \( x = 4 \).

3. Проверяем значения производной в интервалах:

Интервал (-бесконечность, 0):

Выбираем \( x = -1 \) (любое значение между \(-\infty\) и 0) и подставляем в \( f'(x) \):

\[ f'(-1) = 3(-1)^2 - 12(-1) = 3 + 12 = 15 > 0 \]

Интервал (0, 4):

Выбираем \( x = 2 \) (любое значение между 0 и 4) и подставляем в \( f'(x) \):

\[ f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) = 12 - 24 = -12 < 0 \]

Интервал (4, +бесконечность):

Выбираем \( x = 5 \) (любое значение больше 4) и подставляем в \( f'(x) \):

\[ f'(5) = 3(5)^2 - 12(5) = 75 - 60 = 15 > 0 \]

Вывод:

На интервалах \((- \infty, 0)\) и \((4, +\infty)\) производная \( f'(x) \) имеет одинаковый знак (положительный), что означает, что функция \( f(x) \) убывает на этих интервалах. На интервале \((0, 4)\) производная \( f'(x) \) имеет отрицательный знак, следовательно, функция \( f(x) \) возрастает на этом интервале.

Таким образом, промежутки убывания функции \( f(x) \) — это \((- \infty, 0)\) и \((4, +\infty)\).