Question

Решить неравенство:а) 4 cos^2 x/4 > 1 б) cos^2 x/4 - sin^2 x/4 > 1/2

Answer 1

б)

cos2x=cos^2x-sin^2x поэтому

мы получаем cosx\2>1\2

x\2>П\3

x>2П\3

а) cos^2x\4>1\4

извлекаем корень и получаем 2 корня в лицо)

cosх\4>1\$\sqrt{2}$

 и cosx\4<-1\$\sqrt{2}$

1)x\4>П\4

x>П

2)x\4<-П\4

x<-П

 

Answer 2

Для решения неравенств вида \(4\cos^2(x) / 4 > 1\) и \(\cos^2(x) / 4 - \sin^2(x) / 4 > 1/2\) мы можем использовать знания о тригонометрии и алгебре. Давайте начнем с первого неравенства.

Решение неравенства \(4\cos^2(x) / 4 > 1\)

Для начала давайте упростим неравенство:

\[4\cos^2(x) / 4 > 1\]

Упрощаем:

\[\cos^2(x) > 1\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон неравенства. Помним, что при взятии корня из неравенства, мы должны учитывать знак:

\[\cos(x) > 1\]

Теперь заметим, что косинус не может быть больше 1, так как он изменяется от -1 до 1. Таким образом, решений для этого неравенства не существует.

Решение неравенства \(\cos^2(x) / 4 - \sin^2(x) / 4 > 1/2\)

Для начала упростим неравенство:

\[\cos^2(x) / 4 - \sin^2(x) / 4 > 1/2\]

Теперь объединим члены синуса и косинуса:

\[(\cos^2(x) - \sin^2(x)) / 4 > 1/2\]

Теперь воспользуемся тригонометрическими идентичностями \(\cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(2x)\):

\[\cos(2x) / 4 > 1/2\]

Умножим обе стороны на 4:

\[\cos(2x) > 2\]

Теперь мы можем рассмотреть значения косинуса. Так как косинус изменяется от -1 до 1, неравенство \(\cos(2x) > 2\) не имеет решений в действительных числах.

Таким образом, оба исходных неравенства не имеют решений в действительных числах.