Question

Докажите неравенства x^2+y^2+18x-6y+100>0

Answer 1

X²+y²+18x-6y+100>0
(x²+18x)+(y²-6y)+100>0
(x²+2x*9+9²)-9²+(y²-2y*3+3²)-3²+100>0
(x+9)²-81+(y-3)²-9+100>0
(x+9)²+(y-3)²+10>0

(x+9)²≥0 при любом значении х
(y-3)²≥0 при любом значении у
10>0
Следовательно, левая часть уравнения, представляющая сумму двух неотрицательных и одного положительного числа, является  положительным числом.
Что и требовалось доказать!

Answer 2

Доказательство неравенства x^2 + y^2 + 18x - 6y + 100 > 0

Для доказательства данного неравенства мы можем воспользоваться методом завершения квадрата для выражений, содержащих x и y.

1. Завершение квадрата для x:

Для завершения квадрата для выражения x^2 + 18x, мы добавим и вычтем (18/2)^2, то есть 81.

Получаем: x^2 + 18x + 81 - 81.

Это можно переписать как: (x + 9)^2 - 81.

2. Завершение квадрата для y:

Для завершения квадрата для выражения y^2 - 6y, мы добавим и вычтем (-6/2)^2, то есть 9.

Получаем: y^2 - 6y + 9 - 9.

Это можно переписать как: (y - 3)^2 - 9.

3. Подстановка в исходное неравенство:

Исходное неравенство x^2 + y^2 + 18x - 6y + 100 > 0 можно переписать, используя завершение квадрата для x и y:

(x + 9)^2 - 81 + (y - 3)^2 - 9 + 100 > 0.

Упрощаем:

(x + 9)^2 + (y - 3)^2 + 10 > 0.

4. Итоговое неравенство:

Таким образом, итоговое неравенство примет вид:

(x + 9)^2 + (y - 3)^2 + 10 > 0.

Это неравенство верно для всех x и y, так как сумма квадратов неотрицательных чисел (квадратов) всегда больше или равна нулю.

Следовательно, исходное неравенство x^2 + y^2 + 18x - 6y + 100 > 0 верно для всех значений x и y.