Question

Помогите вычислить без применения таблиц: sin 11/12П+sin 5/12П sin 11/12П-sin 5/12П

Answer 1

$sina+sinb=2sin( \frac{a+b}{2} )cos( \frac{a-b}{2} ) \\ sina-sinb=2cos( \frac{a+b}{2} )sin( \frac{a-b}{2} )$
Подставляем и радуемся
1)...=2sin(8/12pi)cos(3/12pi)=2sin(2/3pi)cos(1/4pi)=2*(√3/2)(√2/2)=√6/2
2)...=2cos(2/3pi)sin(1/4pi)=2*(-1/2)(√2/2)=-√2/2

Answer 2

Для вычисления выражения sin(11/12π) + sin(5/12π) + sin(11/12π) - sin(5/12π) без применения таблиц можно воспользоваться свойствами синуса и формулой суммы синусов.

Свойства синуса: 1. sin(-θ) = -sin(θ) - синус отрицательного угла равен минус синусу положительного угла. 2. sin(θ + 2π) = sin(θ) - синус угла, увеличенного на 2π, равен синусу исходного угла.

Формула суммы синусов: sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β) - формула для вычисления синуса суммы двух углов.

Начнем с выражения sin(11/12π) + sin(5/12π). Мы можем использовать формулу суммы синусов, где α = 11/12π и β = 5/12π:

sin(11/12π + 5/12π) = sin(11/12π)cos(5/12π) + cos(11/12π)sin(5/12π)

Теперь рассмотрим выражение sin(11/12π - 5/12π). Мы можем использовать свойство синуса sin(-θ) = -sin(θ), где θ = 5/12π:

sin(11/12π - 5/12π) = -sin(5/12π)

Теперь у нас есть выражение:

sin(11/12π)cos(5/12π) + cos(11/12π)sin(5/12π) - sin(5/12π)

Для упрощения этого выражения, нам необходимо знать значения синусов и косинусов для углов π/6, π/4 и π/3:

sin(π/6) = 1/2, cos(π/6) = √3/2 sin(π/4) = √2/2, cos(π/4) = √2/2 sin(π/3) = √3/2, cos(π/3) = 1/2

Теперь мы можем заменить значения синусов и косинусов в исходном выражении:

(√3/2 * 1/2) + (1/2 * √2/2) - √2/2

Упрощаем выражение:

√3/4 + √2/4 - √2/2

Для объединения дробей с одинаковыми знаменателями, мы можем привести их к общему знаменателю:

(√3/4 + √2/4) - (2√2/4)

Теперь мы можем сложить числители:

(√3 + √2 - 2√2)/4

Наконец, мы можем упростить числитель:

(√3 - √2)/4

Таким образом, итоговое значение выражения sin(11/12π) + sin(5/12π) + sin(11/12π) - sin(5/12π) без применения таблиц равно (√3 - √2)/4.