Question

Решите неравенство: |x^2-4|>|x+2|

Answer 1

Левая и правая части неравенства неотрицательны. Возводим обе части неравенства в квадрат, т.е.

       $(x^2-4)^2\ \textgreater \ (x+2)^2\\ (x^2-4)^2-(x+2)^2\ \textgreater \ 0\\ (x^2-x-6)(x^2+x-2)\ \textgreater \ 0\\ (x+2)^2(x-3)(x-1)\ \textgreater \ 0$

$x \in (-\infty;-2)\cup(-2;1)\cup(3;+\infty)$

Answer 2

Чтобы решить неравенство |x^2-4| > |x+2|, давайте рассмотрим его по частям и решим каждое неравенство отдельно:

1. x^2-4 > x+2: Для начала, вычтем x+2 с обеих сторон: x^2 - x - 6 > 0 Теперь, попробуем разложить левую часть на множители: (x - 3)(x + 2) > 0 Затем, построим таблицу знаков, чтобы найти интервалы, в которых это неравенство выполняется:

(-∞) -2 3 (+∞) ----------------------------------- (x - 3)(x + 2) | - | + | + ----------------------------------- x^2 - x - 6 | - | + | + -----------------------------------

Из таблицы знаков видно, что неравенство выполняется, когда x находится в интервалах (-∞, -2) и (3, +∞).

2. -(x^2-4) > x+2: Умножим обе части неравенства на -1, чтобы изменить направление неравенства: x^2 - 4 < -x - 2 Перенесем все термины на левую сторону: x^2 + x - 2 < 0 Разложим левую часть на множители: (x + 2)(x - 1) < 0 Снова построим таблицу знаков:

(-∞) -2 1 (+∞) ----------------------------------- (x + 2)(x - 1) | - | - | + ----------------------------------- x^2 + x - 2 | - | - | + -----------------------------------

Из таблицы знаков видно, что неравенство выполняется, когда x находится в интервале (-2, 1).

Итоговый ответ:

Таким образом, решение исходного неравенства |x^2-4| > |x+2| состоит из объединения двух интервалов: (-∞, -2) и (3, +∞), а также исключением интервала (-2, 1).