Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=12х-3х (в квадрате) и у=0

Answer 1

Приравняем эти линии и найдём точки их пересечения:
12х-3х^2 = 0
3x(4-x)=0
x = {0; 4}
Фигура лежит между этими графиками на интервале [0,4]. Для нахождения площади возьмём определённый интеграл на этом интервале(строго говоря, надо брать разность интегралов, но для y=0 и интеграл будет нулевым): 
Сначала неопределённый:
$\int\ {12x-3x^2} \, dx$ = 12x^2/2 - 3x^3/3 = 6x^2 - x^3
Теперь доставляем интервал:
6*4^2 - 4^3 - (6*0^2 - 0^3) = 96 - 64 = 32

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя линиями, необходимо найти точки пересечения этих линий и интегрировать функцию, представляющую разность между ними, по оси x в пределах этих точек.

Первая линия задана уравнением y = 12x - 3x^2, а вторая линия - y = 0.

Для начала, найдем точки пересечения этих линий, приравняв их уравнения друг к другу:

12x - 3x^2 = 0

Факторизуем это уравнение:

3x(4 - x) = 0

Из этого уравнения получаем два значения x: x = 0 и x = 4.

Теперь мы можем интегрировать функцию разности между этими двумя линиями по оси x в пределах от x = 0 до x = 4, чтобы найти площадь фигуры:

S = ∫[0, 4] (12x - 3x^2) dx

Выполним интегрирование:

S = [6x^2 - x^3] |[0, 4]

S = (6 * 4^2 - 4^3) - (6 * 0^2 - 0^3)

S = (6 * 16 - 64) - (0 - 0)

S = (96 - 64) - (0 - 0)

S = 32

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 12x - 3x^2 и y = 0, равна 32 квадратным единицам.