Question

Комплексные числа. Найти корни Z Z^4=sqrt(2)+sqrt(2)*i

Answer 1

Уравнение четвёртой степени - должно быть четыре корня - основная теорема алгебры.
перепишем в показательной форме

Z^4= 2*e^(π/4)i

его надо расчетверить с учётом угла 2π

Z^4= 2*e^(π/4)i
Z^4= 2*e^(9π/4)i
Z^4= 2*e^(17π/4)i
Z^4= 2*e^(25π/4)i

корни
Z= 2^(1/4) * е^(π/16)i
Z= 2^(1/4) * е^(9π/16)i
Z= 2^(1/4) * e^(17π/16)i
Z= 2^(1/4) * e^(25π/16)i

Answer 2

Комплексные числа являются числами вида a + bi, где a и b - вещественные числа, а i - мнимая единица, определяемая как i^2 = -1. Комплексные числа представляются на комплексной плоскости, где вещественная ось соответствует оси x, а мнимая ось - оси y.

Для нахождения корней уравнения Z^4 = sqrt(2) + sqrt(2)i, мы можем воспользоваться следующими шагами:

Шаг 1: Представим комплексное число sqrt(2) + sqrt(2)i в тригонометрической форме. Для этого нужно найти модуль и аргумент числа. Модуль можно найти по формуле |Z| = sqrt(a^2 + b^2), где a и b - вещественные и мнимые части числа соответственно. Аргумент можно найти по формуле arg(Z) = arctan(b/a).

В нашем случае, a = sqrt(2), b = sqrt(2), поэтому |Z| = sqrt((sqrt(2))^2 + (sqrt(2))^2) = sqrt(2 + 2) = sqrt(4) = 2. Аргумент можно найти, заметив, что a и b положительные, поэтому arg(Z) = arctan(sqrt(2)/sqrt(2)) = arctan(1) = π/4.

Таким образом, sqrt(2) + sqrt(2)i в тригонометрической форме будет равно 2 * cos(π/4) + 2 * sin(π/4)i.

Шаг 2: Теперь мы можем записать наше уравнение Z^4 = 2 * cos(π/4) + 2 * sin(π/4)i в тригонометрической форме.

Z^4 = (2 * cos(π/4) + 2 * sin(π/4)i)^4

Шаг 3: Возводим выражение в степень 4, используя формулу Муавра. Формула Муавра гласит: (r * (cos(theta) + sin(theta)i))^n = r^n * (cos(n * theta) + sin(n * theta)i), где r - модуль числа, theta - аргумент числа, а n - степень.

Применим формулу Муавра к нашему уравнению:

Z^4 = (2^4) * (cos(4 * π/4) + sin(4 * π/4)i)

Упростим:

Z^4 = 16 * (cos(π) + sin(π)i)

Шаг 4: Представим 16 * (cos(π) + sin(π)i) в алгебраической форме. Для этого нужно использовать формулу Эйлера, которая гласит: e^(ix) = cos(x) + sin(x)i.

Применим формулу Эйлера:

16 * (cos(π) + sin(π)i) = 16 * e^(iπ)

Шаг 5: Представим e^(iπ) в алгебраической форме, используя формулу Эйлера:

e^(iπ) = cos(π) + sin(π)i = -1 + 0i = -1

Шаг 6: Умножим результат на 16:

16 * (-1) = -16

Таким образом, корни уравнения Z^4 = sqrt(2) + sqrt(2)i равны -16.