Question

F(x)=(10-x^2)√x. Решите неравенство f'(x)>=0

Answer 1

$f(x)=(10-x^2) \sqrt{x} \\f'(x) \geq 0\\\\f'(x)=-2x \sqrt{x} + \frac{10-x^2}{2 \sqrt{x} } =(-4x^2+10-x^2)/2 \sqrt{x} \geq 0$

ОДЗ: $x\ \textgreater \ 0$.

$10-5x^2 \geq 0\\( \sqrt{10} -x \sqrt{5} )\( \sqrt{10} + x\sqrt{5}) \geq 0\\\\x_1=- \sqrt{2} \\x_2= \sqrt{2} .$

Здесь по методу интервалов находим значения, при которых выражение больше или равно нулю (надеюсь, не надо объяснять, как это сделать). В результате, с учётом ОДЗ, ответ будет таким:

 $x \in (0; \sqrt{2} ].$

Answer 2

Для начала найдем производную функции F(x): F'(x) = (10-x^2)' * √x + (10-x^2) * (√x)'

Дифференцируя каждое слагаемое, получим: F'(x) = -2x * √x + (10-x^2) * (1/2√x)

Упрощая выражение, получим: F'(x) = -2x√x + (10-x^2) / 2√x

Для решения неравенства F'(x) >= 0, найдем точки, в которых производная равна нулю: -2x√x + (10-x^2) / 2√x = 0

Упрощая выражение, получим: -2x√x + (10-x^2) = 0

Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения: 2x√x - (10-x^2) = 0

Раскроем скобки: 2x√x - 10 + x^2 = 0

Приведем подобные слагаемые: x^2 + 2x√x - 10 = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта. Дискриминант D будет равен: D = (2√x)^2 - 4 * 1 * (-10) D = 4x - 4(-10) D = 4x + 40

Для того чтобы найти значения x, при которых D >= 0, решим неравенство: 4x + 40 >= 0

Вычтем 40 из обеих частей неравенства: 4x >= -40

Разделим обе части неравенства на 4: x >= -10

Таким образом, производная F'(x) >= 0 при x >= -10.