Question

правила и формулы отыскивания производныхнайдите производные функцийа)y=x^5б)y=3в)y=4/xг)y=3-2xд)y=2√x+3sinx

Answer 1

$a)~ y'=(x^5)'=5x^4$

б) $y'=(3)'=0$

в) Воспользуемся формулой производной частного : 
$y'=\bigg(\displaystyle \frac{4}{x}\bigg)'= \frac{(4)'\cdot x-4\cdot (x)'}{x^2} =- \frac{4}{x^2}$

г) $y'=(3-2x)'=(3)'-(2x)'=-2$

д) $y'=(2 \sqrt{x} +3\sin x)'=(2\sqrt{x} )'+(3\sin x)'= \dfrac{1}{\sqrt{x} } +3\cos x$

Answer 2

Правила и формулы для нахождения производных

Найдем производные для каждой из данных функций.

a) y = x^5

Для нахождения производной функции y = x^5, мы можем использовать формулу производной степенной функции:

Правило степенной функции: Если у нас есть функция вида y = x^n, где n - это константа, то производная этой функции равна произведению константы n и степени x в степени (n-1).

Применяя это правило к функции y = x^5, мы получаем:

y' = 5x^(5-1) = 5x^4

Таким образом, производная функции y = x^5 равна 5x^4.

б) y = 3

Функция y = 3 является константой. Производная константы всегда равна нулю.

Таким образом, производная функции y = 3 равна 0.

в) y = 4/x

Для нахождения производной функции y = 4/x, мы можем использовать формулу производной обратной функции:

Правило обратной функции: Если у нас есть функция вида y = f(x), где f(x) - это непрерывная и обратимая функция, то производная обратной функции равна единице, деленной на производную исходной функции, взятой в точке x.

Применяя это правило к функции y = 4/x, мы получаем:

y' = -(4/x^2) = -4/x^2

Таким образом, производная функции y = 4/x равна -4/x^2.

г) y = 3 - 2x

Для нахождения производной функции y = 3 - 2x, мы можем использовать правило линейной функции:

Правило линейной функции: Если у нас есть функция вида y = mx + b, где m и b - константы, то производная этой функции равна коэффициенту m перед x.

Применяя это правило к функции y = 3 - 2x, мы получаем:

y' = -2

Таким образом, производная функции y = 3 - 2x равна -2.

д) y = 2√x + 3sinx

Для нахождения производной функции y = 2√x + 3sinx, мы должны применить правила производных для каждого слагаемого по отдельности.

Правило производной корня: Если у нас есть функция вида y = √x, то производная этой функции равна половине производной степенной функции с показателем 1/2.

Применяя это правило к первому слагаемому 2√x, мы получаем:

(y1)' = 2 * (1/2) * x^(1/2-1) = x^(-1/2) = 1/√x

Правило производной синуса: Если у нас есть функция вида y = sinx, то производная этой функции равна cosx.

Применяя это правило ко второму слагаемому 3sinx, мы получаем:

(y2)' = 3 * cosx

Таким образом, производная функции y = 2√x + 3sinx равна:

y' = (y1)' + (y2)' = 1/√x + 3cosx

Это и есть производная функции y = 2√x + 3sinx.