Question

Преобразовать в произведение sin4β+ sin10β+ sin22β+ sin16β

Answer 1

=2sin((16b+10b)/2)cos((16b-10b)/2)+2sin((22b+4b)/2)cos((22b-4b)/2)=2sin13b*cos3b+2sin13b*cos9b=2sin13b(cos3b+cos9b) возможно так

Answer 2

Для начала, воспользуемся формулой синуса суммы двух углов:

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

Применим эту формулу к выражению sin(4β + 16β):

sin(4β + 16β) = sin(4β)cos(16β) + cos(4β)sin(16β)

Затем, применим формулу синуса двойного угла к каждому слагаемому:

sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

sin(4β) = 2sin(2β)cos(2β) sin(16β) = 2sin(8β)cos(8β)

Подставим эти значения в выражение:

sin(4β + 16β) = 2sin(2β)cos(2β)cos(16β) + 2sin(8β)cos(8β)sin(16β)

Теперь, применим формулу синуса суммы двух углов к выражению sin(8β + 8β):

sin(8β + 8β) = sin(8β)cos(8β) + cos(8β)sin(8β)

Заметим, что sin(8β + 8β) = sin(16β), поэтому заменим это значение в исходном выражении:

sin(4β + 16β) = 2sin(2β)cos(2β)cos(16β) + 2sin(8β)cos(8β)sin(8β)

Используем формулу синуса двойного угла ещё раз:

sin(8β) = 2sin(4β)cos(4β)

Подставим это значение в выражение:

sin(4β + 16β) = 2sin(2β)cos(2β)cos(16β) + 2(2sin(4β)cos(4β))cos(8β)sin(16β)

Теперь у нас осталось выразить sin(2β) и cos(2β) через sin(β) и cos(β). Воспользуемся формулами синуса и косинуса двойного угла:

sin(2β) = 2sin(β)cos(β) cos(2β) = cos^2(β) - sin^2(β)

Подставим эти значения в выражение:

sin(4β + 16β) = 2(2sin(β)cos(β))(cos^2(β) - sin^2(β))cos(16β) + 2(2sin(4β)cos(4β))cos(8β)sin(16β)

Теперь у нас осталось выразить sin(4β) и cos(4β) через sin(β) и cos(β). Воспользуемся формулами синуса и косинуса двойного угла:

sin(4β) = 2sin(2β)cos(2β) cos(4β) = cos^2(2β) - sin^2(2β)

Подставим эти значения в выражение:

sin(4β + 16β) = 2(2sin(β)cos(β))((cos^2(β) - sin^2(β))^2 - sin^2(β))cos(16β) + 2(2(2sin(2β)cos(2β))cos^2(2β) - sin^2(2β))cos(8β)sin(16β)

Таким образом, выражение sin(4β + 16β) представлено в виде произведения различных синусов и косинусов углов β.