Question

Решите неравенство: 2 cos2 x + 3 cos x + 1 > 0

Answer 1

4сos²x-2+3cosx+1>0
cosx=a
4a²+3a-1>0
D=9+16=25
a1=(-3-5)/8=-1 U a2=(-3+5)/8=1/4
a<-1 U a>1/4
cos<-1 нет решения
cosx>1/4
x∈(-arccos1/4+2πn;arccos1/4+2πn,n∈z)

Answer 2

Дано неравенство: 2cos^2(x) + 3cos(x) + 1 > 0.

Для решения данного неравенства, мы можем использовать замену переменной. Обозначим cos(x) за t. Тогда неравенство примет вид: 2t^2 + 3t + 1 > 0.

Давайте проанализируем данное квадратное уравнение. Мы можем решить его, найдя корни или используя метод интервалов.

Нахождение корней квадратного уравнения

Зная, что уравнение имеет вид 2t^2 + 3t + 1 = 0, мы можем применить формулу дискриминанта для определения количества корней и их характера.

Формула дискриминанта: D = b^2 - 4ac

В данном случае, a = 2, b = 3 и c = 1. Подставим эти значения в формулу:

D = (3)^2 - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1

Так как дискриминант D больше нуля, уравнение имеет два различных корня.

Нахождение корней квадратного уравнения

Теперь, найдя корни квадратного уравнения, мы можем разбить числовую ось на интервалы и изучить знаки уравнения на каждом из этих интервалов.

Для этого, решим уравнение 2t^2 + 3t + 1 = 0:

t1 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-3 - sqrt(1)) / (2*2) = (-3 - 1) / 4 = -1

t2 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-3 + sqrt(1)) / (2*2) = (-3 + 1) / 4 = -1/2

Теперь, мы имеем три интервала: 1) t < -1 2) -1 < t < -1/2 3) t > -1/2

Изучение знаков уравнения на интервалах

Для каждого интервала, мы можем проверить знак уравнения и определить, когда оно положительно.

1) Подставим t = -2 в уравнение: 2(-2)^2 + 3(-2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3 > 0. Знак уравнения положительный на интервале t < -1.

2) Подставим t = -3/4 в уравнение: 2(-3/4)^2 + 3(-3/4) + 1 = 9/8 - 9/4 + 1 = 1/8 < 0. Знак уравнения отрицательный на интервале -1 < t < -1/2.

3) Подставим t = 0 в уравнение: 2(0)^2 + 3(0) + 1 = 1 > 0. Знак уравнения положительный на интервале t > -1/2.

Результат

Таким образом, решением неравенства 2cos^2(x) + 3cos(x) + 1 > 0 является:

x < arccos(-1) или -1 < x < arccos(-1/2)

В градусах, решение будет:

x < 180° или -1 < x < 120°