Question

54 балла!! Сколько решений имеет система уравнений: x^2+y^2=16 x^2-y=5 (Вместе с объяснением)

Answer 1

Это 1

х"2+у"2=16 
х-у=4 
Из второго уравнения системы выражаем х: 
х=4+у. 
Подставляем в первое уравнение системы: 
(4+у) "2+у"2-16=0 
16+8у+у"2+у"2-16=0 
2у"2+8у=0 
2у (у+4)=0 
у=0,у=-4. 
Подставляем данные значения у в выражение х=4+у: 
х=4+0 
х=4 
И: 
х=4-4 
х=0 
Ответ: (4;0) и (0;-4).

Answer 2

Система уравнений x^2+y^2=16 x^2-y=5 имеет два решения, которые можно найти разными способами. Один из них - это метод подстановки. Для этого нужно выразить одну из переменных из одного уравнения и подставить в другое. Например, из второго уравнения можно получить y=x^2-5 и подставить в первое:

x^2+(x^2-5)^2=16

Раскрыв скобки и приведя подобные, получим:

x^4-8x^2-9=0

Это уравнение можно решить, разложив на множители:

(x^2-9)(x^2+1)=0

Отсюда следует, что x^2=9 или x^2=-1. Первый случай дает два значения для x: x=3 или x=-3. Второй случай не дает действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Поэтому рассмотрим только первый случай.

Подставив x=3 в выражение для y, получим y=3^2-5=4. Подставив x=-3, получим y=(-3)^2-5=4. Значит, y не зависит от знака x и равно 4. Тогда два решения системы уравнений имеют вид:

x=3, y=4

x=-3, y=4

Эти решения соответствуют точкам пересечения окружности x^2+y^2=16 и параболы x^2-y=5. Можно построить графики этих функций и увидеть их визуально. Я попробую создать такой график.