Question

F(x)=e^x+1/x найдите первообразную

Answer 1

∫(e^x+1/x)dx=e^x+lnx+c

Answer 2

Для нахождения первообразной функции F(x) = e^x + 1/x, мы можем использовать методы интегрирования. В данном случае, нам понадобится применить два разных метода: метод интегрирования по частям и метод интегрирования дробно-рациональной функции.

Метод интегрирования по частям

Метод интегрирования по частям основан на формуле интегрирования произведения двух функций:

∫(u * v) dx = u * ∫v dx - ∫(u' * ∫v dx) dx,

где u - первая функция, v - вторая функция, u' - производная первой функции по переменной x.

Применим этот метод к функции F(x) = e^x + 1/x:

∫(e^x + 1/x) dx = ∫e^x dx + ∫(1/x) dx.

Для первого слагаемого, ∫e^x dx, мы знаем, что производная функции e^x равна самой функции, поэтому:

∫e^x dx = e^x + C1,

где C1 - произвольная постоянная.

Для второго слагаемого, ∫(1/x) dx, мы можем использовать метод интегрирования дробно-рациональной функции.

Метод интегрирования дробно-рациональной функции

Для нахождения интеграла ∫(1/x) dx, мы можем представить дробь 1/x в виде суммы двух дробей:

1/x = A/x + B/(x^2),

где A и B - некоторые константы, которые нужно найти.

Мы можем найти эти константы, используя метод неопределенных коэффициентов. Домножим обе части уравнения на x(x^2):

1 = A(x^2) + Bx.

Теперь мы можем сравнить коэффициенты при одинаковых степенях x:

A = 0, B = 1.

Таким образом, мы получаем:

∫(1/x) dx = ∫(0/x) dx + ∫(1/(x^2)) dx = 0 + ∫(1/(x^2)) dx.

Для интеграла ∫(1/(x^2)) dx, мы знаем, что производная функции -1/x равна 1/(x^2), поэтому:

∫(1/(x^2)) dx = -1/x + C2,

где C2 - произвольная постоянная.

Итоговая первообразная

Теперь мы можем объединить результаты двух интегрирований:

∫(e^x + 1/x) dx = e^x + C1 + (-1/x + C2) = e^x - 1/x + (C1 + C2).

Таким образом, первообразная функции F(x) = e^x + 1/x равна:

F(x) = e^x - 1/x + C,

где C = C1 + C2 - произвольная постоянная.