Question

Помогите пожалуйста!!! составьте уравнение касательной к графику функции у=-cos(5х+пи/4)-4, в точке с абсциссой х0=0

Answer 1

Уравнение касательной:

$y_{k}=y'(x)+y'(x_{0})(x-x_{0})$



$y=cos(5x+ \frac{ \pi }{4})-4 \\ y'(x)=-sin(5x+ \frac{ \pi }{4})*(5x+ \frac{ \pi }{4})'=-5sin(5x+ \frac{ \pi }{4}) \\y'(x_{0})=-5sin\frac{ \pi }{4}=-5* \frac{ \sqrt{2}}{2}= \frac{-5 \sqrt{2}}{2}=-2,5 \sqrt{2} \\ \\ y_{k}=-5sin(5x+ \frac{ \pi }{4})-2,5 \sqrt{2}(x-0) \\ y_{k}=-5sin(5x+ \frac{ \pi }{4})-2,5 \sqrt{2}x$


Ответ: у(k)=-5sin(5x+п/4)-2,5√2x    это и есть уравнение касательной.

Answer 2

Уравнение касательной к графику функции

Чтобы составить уравнение касательной к графику функции, необходимо знать точку, в которой требуется найти касательную и значение её производной в этой точке.

Дано уравнение функции: у = -cos(5х + π/4) - 4

Сначала найдём производную этой функции, чтобы получить значение производной в точке x₀ = 0.

По правилу дифференцирования функции cos(x), производная функции -cos(5х + π/4) равна:

у' = 5sin(5х + π/4)

Теперь заменим x на x₀ = 0 и вычислим значение производной:

у'(0) = 5sin(5 * 0 + π/4) = 5sin(π/4) = 5/√2 = 5√2/2

Теперь у нас есть значение производной в точке x₀ = 0: у'(0) = 5√2/2.

Для составления уравнения касательной к графику функции у = -cos(5х + π/4) - 4 в точке x₀ = 0, используем формулу касательной:

у - у₀ = у'(x₀)(x - x₀)

где у₀ - значение функции в точке x₀, у'(x₀) - значение производной в точке x₀.

Подставляя значения, получаем:

у - (-cos(5 * 0 + π/4) - 4) = 5√2/2 * (x - 0)

Сокращаем выражение:

у + cos(π/4) + 4 = 5√2/2 * x

Сокращаем cos(π/4) до √2/2:

у + √2/2 + 4 = 5√2/2 * x

Таким образом, уравнение касательной к графику функции у = -cos(5х + π/4) - 4 в точке x₀ = 0 имеет вид:

у + √2/2 + 4 = 5√2/2 * x

Это уравнение задаёт касательную к графику функции в указанной точке.