
Вопрос задан 07.08.2018 в 04:47.
Предмет Алгебра.
Спрашивает Касаткина Катя.
Исследуйте на монотонность функцию y=f(x) a) f(x)=x^4-2x^2+1


Ответы на вопрос

Отвечает Никифорова Настя.
F(x)=x^4-2x^2+1
D(f)=R
f`(x)=4x^3-4x=4x(x²-1)=4x(x-1)(x+1)
f`(x)=0 при 4x(x-1)(x+1)=0
- + - +
___________-1__________________0_____________1___________
f(x)- монотонно возрастает при х∈(-1;0)∨(1;+∞)
f(x)- монотонно убывает при х∈(-∞;-1)∨(0;1)
D(f)=R
f`(x)=4x^3-4x=4x(x²-1)=4x(x-1)(x+1)
f`(x)=0 при 4x(x-1)(x+1)=0
- + - +
___________-1__________________0_____________1___________
f(x)- монотонно возрастает при х∈(-1;0)∨(1;+∞)
f(x)- монотонно убывает при х∈(-∞;-1)∨(0;1)



Отвечает нейросеть ChatGpt. Будьте внимательны, ответы нейросети могут содержать ошибочные или выдуманные данные.
Для исследования функции \( y = f(x) = x^4 - 2x^2 + 1 \) на монотонность необходимо проанализировать производные функции и её поведение.
Нахождение производных
Для начала найдём первую и вторую производные функции \( f(x) \) по переменной \( x \).Нахождение первой производной
Пусть \( y = f(x) = x^4 - 2x^2 + 1 \). Тогда первая производная \( f'(x) \) будет равна: \[ f'(x) = \frac{d}{dx} (x^4 - 2x^2 + 1) \]Используя правила дифференцирования, мы получаем: \[ f'(x) = 4x^3 - 4x \]
Нахождение второй производной
Теперь найдём вторую производную \( f''(x) \): \[ f''(x) = \frac{d^2}{dx^2} (4x^3 - 4x) \]Продифференцировав выражение, получаем: \[ f''(x) = 12x^2 - 4 \]
Исследование на монотонность
Чтобы исследовать функцию \( y = f(x) = x^4 - 2x^2 + 1 \) на монотонность, рассмотрим знаки первой и второй производных.Анализ знаков первой производной
Теперь определим интервалы, на которых первая производная \( f'(x) \) положительна или отрицательна. Для этого найдём корни уравнения \( f'(x) = 4x^3 - 4x = 0 \): \[ 4x(x^2 - 1) = 0 \] \[ x(x+1)(x-1) = 0 \]Отсюда получаем, что корни равны \( x = 0, x = 1, x = -1 \). Построим таблицу знаков первой производной: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -\infty & -1 & 0 & 1 & +\infty \\ \hline f'(x) & & & & & \\ \hline \end{array} \]
Анализ знаков второй производной
Теперь проанализируем знаки второй производной \( f''(x) = 12x^2 - 4 \). Найдём корни уравнения \( f''(x) = 12x^2 - 4 = 0 \): \[ 12x^2 - 4 = 0 \] \[ 12x^2 = 4 \] \[ x^2 = \frac{1}{3} \] \[ x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} \]Построим таблицу знаков второй производной: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -\infty & -\sqrt{\frac{1}{3}} & \sqrt{\frac{1}{3}} & +\infty \\ \hline f''(x) & & & & \\ \hline \end{array} \]
Вывод
Исследовав знаки первой и второй производных, можно сделать вывод о монотонности функции \( f(x) = x^4 - 2x^2 + 1 \) на различных интервалах.

Топ вопросов за вчера в категории Алгебра
Последние заданные вопросы в категории Алгебра
Предметы
-
Математика
-
Литература
-
Алгебра
-
Русский язык
-
Геометрия
-
Английский язык
-
Химия
-
Физика
-
Биология
-
Другие предметы
-
История
-
Обществознание
-
Окружающий мир
-
География
-
Українська мова
-
Информатика
-
Українська література
-
Қазақ тiлi
-
Экономика
-
Музыка
-
Право
-
Беларуская мова
-
Французский язык
-
Немецкий язык
-
МХК
-
ОБЖ
-
Психология
-
Физкультура и спорт
-
Астрономия
-
Кыргыз тили
-
Оʻzbek tili