Question

Исследуйте на монотонность функцию y=f(x) a) f(x)=x^4-2x^2+1

Answer 1

F(x)=x^4-2x^2+1
D(f)=R
f`(x)=4x^3-4x=4x(x²-1)=4x(x-1)(x+1)
f`(x)=0 при 4x(x-1)(x+1)=0
      -                             +                                  -                        +
___________-1__________________0_____________1___________

f(x)- монотонно возрастает при х∈(-1;0)∨(1;+∞)
f(x)- монотонно убывает при х∈(-∞;-1)∨(0;1)

Answer 2

Для исследования функции \( y = f(x) = x^4 - 2x^2 + 1 \) на монотонность необходимо проанализировать производные функции и её поведение.

Нахождение производных

Для начала найдём первую и вторую производные функции \( f(x) \) по переменной \( x \).

Нахождение первой производной

Пусть \( y = f(x) = x^4 - 2x^2 + 1 \). Тогда первая производная \( f'(x) \) будет равна: \[ f'(x) = \frac{d}{dx} (x^4 - 2x^2 + 1) \]

Используя правила дифференцирования, мы получаем: \[ f'(x) = 4x^3 - 4x \]

Нахождение второй производной

Теперь найдём вторую производную \( f''(x) \): \[ f''(x) = \frac{d^2}{dx^2} (4x^3 - 4x) \]

Продифференцировав выражение, получаем: \[ f''(x) = 12x^2 - 4 \]

Исследование на монотонность

Чтобы исследовать функцию \( y = f(x) = x^4 - 2x^2 + 1 \) на монотонность, рассмотрим знаки первой и второй производных.

Анализ знаков первой производной

Теперь определим интервалы, на которых первая производная \( f'(x) \) положительна или отрицательна. Для этого найдём корни уравнения \( f'(x) = 4x^3 - 4x = 0 \): \[ 4x(x^2 - 1) = 0 \] \[ x(x+1)(x-1) = 0 \]

Отсюда получаем, что корни равны \( x = 0, x = 1, x = -1 \). Построим таблицу знаков первой производной: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -\infty & -1 & 0 & 1 & +\infty \\ \hline f'(x) & & & & & \\ \hline \end{array} \]

Анализ знаков второй производной

Теперь проанализируем знаки второй производной \( f''(x) = 12x^2 - 4 \). Найдём корни уравнения \( f''(x) = 12x^2 - 4 = 0 \): \[ 12x^2 - 4 = 0 \] \[ 12x^2 = 4 \] \[ x^2 = \frac{1}{3} \] \[ x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} \]

Построим таблицу знаков второй производной: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -\infty & -\sqrt{\frac{1}{3}} & \sqrt{\frac{1}{3}} & +\infty \\ \hline f''(x) & & & & \\ \hline \end{array} \]

Вывод

Исследовав знаки первой и второй производных, можно сделать вывод о монотонности функции \( f(x) = x^4 - 2x^2 + 1 \) на различных интервалах.