Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями: y= 1/2x² - 4x + 10 и y= x+2

Answer 1

Найдем ограниченные линии

$0.5x^2-4x+10=x+2\\ x^2-8x+20=2x+4\\ x^2-10x+16=0\\ x_1=2\\ x_2=8$

Графиком функции y=0.5x²-4x+10 является парабола с ветвями направленными вверх.

у=х+2 - прямая, которая проходит через точки (0;2) и (-2;0)

График у=х+2 расположен выше чем у=0,5х²-4х+10, значит площадь фигуры равна:

$\displaystyle \int\limits^8_2 {(x+2-0.5x^2+4x-10)} \, dx = \int\limits^8_2 {(-0.5x^2+5x-8)} \, dx =\\ \\ \\ =\bigg(-0.5 \cdot\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2}-8x\bigg)\bigg|^8_2=- \frac{8^3}{6} + \frac{5\cdot 8^2}{2} -8^2+ \frac{2^3}{6}-\\ \\ \\ - \frac{5\cdot 2^2}{2} -8\cdot 2=18$

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = (1/2)x² - 4x + 10 и y = x + 2, мы должны найти точки их пересечения и затем использовать определенный метод интегрирования.

Найдем точки пересечения линий:

Для этого приравняем уравнения и решим полученное уравнение:

(1/2)x² - 4x + 10 = x + 2

Упростим уравнение:

(1/2)x² - 5x + 8 = 0

Чтобы решить это квадратное уравнение, мы можем использовать метод дискриминанта или завершить квадрат. В данном случае, завершим квадрат:

(1/2)(x² - 10x + 20) = 0

(1/2)(x - 5)² - (1/2)(5)² + 20/2 = 0

(1/2)(x - 5)² - 5 + 10 = 0

(1/2)(x - 5)² = -5

(x - 5)² = -10

Это уравнение не имеет реальных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Площадь фигуры ограничена линиями:

В данном случае, поскольку у нас нет точек пересечения, фигура, ограниченная линиями y = (1/2)x² - 4x + 10 и y = x + 2, не существует.

Заключение:

Поэтому, площадь фигуры, ограниченной линиями y = (1/2)x² - 4x + 10 и y = x + 2, не может быть вычислена, так как фигура не существует.