Question

Дана функция y=f(x),где f(x)=1-x^4. Докажите что (f(-2x)-1)^2=256(1-2f(x)+f2(x))

Answer 1

.........................................................

Answer 2

Для доказательства равенства `(f(-2x) - 1)^2 = 256(1 - 2f(x) + f^2(x))` мы начнем с вычисления значений обеих сторон уравнения, используя данную функцию `f(x) = 1 - x^4`.

Давайте начнем с левой стороны уравнения:

`(f(-2x) - 1)^2`

Заменим `f(x)` в этом выражении на `1 - (-2x)^4`:

`(1 - (-2x)^4 - 1)^2`

Упростим это выражение:

`(-2x)^4)^2`

`(16x^4 - 1)^2`

Теперь перейдем к правой стороне уравнения:

`256(1 - 2f(x) + f^2(x))`

Заменим `f(x)` в этом выражении на `1 - x^4`:

`256(1 - 2(1 - x^4) + (1 - x^4)^2)`

Упростим это выражение:

`256(1 - 2 + 2x^4 - (2x^4 - x^8 + 2x^4 - x^8 + x^8))`

`256(1 - 2 + 2x^4 - 4x^4 + 2x^8 - x^8)`

`256(-1 + 2x^4 + x^8)`

Теперь сравним обе стороны уравнения:

`(16x^4 - 1)^2 = 256(-1 + 2x^4 + x^8)`

Раскроем квадрат на левой стороне:

`256x^8 - 32x^4 + 1 = 256(-1 + 2x^4 + x^8)`

Распределим коэффициенты на правой стороне:

`256x^8 - 32x^4 + 1 = -256 + 512x^4 + 256x^8`

Теперь объединим похожие члены:

`256x^8 - 32x^4 + 1 = 256x^8 + 512x^4 - 256`

Упростим выражение:

`256x^8 - 32x^4 + 1 = 256x^8 + 512x^4 - 256`

Вычитаем `256x^8` из обеих сторон:

`-32x^4 + 1 = 512x^4 - 256`

Вычитаем `512x^4` из обеих сторон:

`-544x^4 + 1 = -256`

Добавляем `256` к обеим сторонам:

`-544x^4 + 257 = 0`

Теперь, чтобы доказать равенство, мы должны показать, что это уравнение верно для всех значений `x`. Однако, если мы подставим `x = 0`, то получим `257 = 0`, что не является верным утверждением.

Таким образом, оригинальное уравнение `(f(-2x) - 1)^2 = 256(1 - 2f(x) + f^2(x))` не верно для всех значений `x`.